Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.8 - Ex. 12
Fósseis de dinossauros são velhos demais para serem datados de maneira confiável usando carbono-14. (Veja o Exercício 11.) Suponha que tenhamos um fóssil de dinossauro de 68 milhões de anos. Que fração dos dinossauros vivos estaria hoje? Suponha que o mínimo
quantidade detectável é de 0,1%. Qual é a idade máxima de um fóssil que poderíamos encontrar usando 14C?
Passo 1
E aí, pessoal!
Nesse problema temos que determinar a quantidade de carbono-14 de um fóssil de milhões da anos de idade e também temos que determinar a idade máxima que é possível datar sabendo que o limite detectável é de .
Tem ideia de como fazemos isso?
Inicialmente, é necessário encontrarmos uma relação que descreva o problema. Então, considerando que a taxa de decaimento é constante, podemos relacionar a massa do Carbono-14 com uma exponencial:
Podemos dizer que , , é o tempo em anos e é a taxa de decaimento relativo que pode ser calculada com os dados fornecidos.
A partir daí, substituímos os valores na função e encontramos os resultados.
Bora lá!
Passo 2
Vamos começar determinando o valor de ...
No exercicio 11, foi dito que o tempo de meia vida do carbono-14 é de anos... portanto
Aplicando essa relação em , vamos obter
Para isolar em um lado da igualdade, fazemos nos dois lados...
Temos duas propriedades que podemos aplicar aqui... e , ou seja
Se , então
Portanto, nossa função é escrita em função do tempo como
Tranquilo até aqui?
Passo 3
A princípio, queremos saber quanto de carbono-14 tem em um fóssil de milhões de anos...
Nesse caso, anos, logo
Para obter um valor em porcentagem (já que não temos a quantidade inicial ), vamos dividir os dois lados por
Aplicando as propriedades que vimos no passo anterior novamente...
Com o auxílio de uma calculadora, vamos obter que
Ou seja, por esse método de datação, não íamos ter nenhum resíduo de carbono-14 por isso o problema disse que não tínhamos precisão para longos períodos...
Show?
Passo 4
Agora, se a máxima quantidade detectável for de , vamos calcular o valor de para
Reutilizando a equação obtida no final do passo 3, temos
Com um auxílio de uma calculadora, vamos obter que
E terminamos! O que achou? Responde Aí!