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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 16

  1. Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente.
  2. Encontre os valores máximo e mínimo local de f .
  3. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

f x = x 2 ln ⁡ x

Passo 1

Oiee, vamos resolver mais uma?

Vamos detalhar o que o enunciado pede em cada etapa, usando a teoria de cálculo diferencial:

a) Encontrar os intervalos em que a função é crescente ou decrescente

Para determinar onde uma função é crescente ou decrescente, usamos a primeira derivada da função:

Primeira Derivada: Calculamos f ' x , que representa a taxa de variação da função f x em relação a x .

Zerar a Primeira Derivada: Encontramos os pontos críticos, onde f ' x = 0 ou onde f ' ( x ) não está definida.

Teste de Sinal: Analisamos o sinal de f ' ( x ) em intervalos entre os pontos críticos para determinar onde a função é crescente   f ' ( x )   >   0   ou decrescente f ' ( x )   <   0 .

Passo 2

b) Encontrar os valores máximos ou mínimos locais

Para identificar os valores máximos e mínimos locais:

Primeira Derivada: Utilizamos os pontos críticos encontrados anteriormente.

Teste da Derivada: Usamos o teste da primeira derivada (ou da segunda derivada) para determinar a natureza dos pontos críticos:

- Primeira Derivada: Verificamos a mudança de sinal em f ' ( x )

Se f ' ( x ) muda de positivo para negativo, temos um máximo local.

Se muda de negativo para positivo, temos um mínimo local.

- Segunda Derivada: Se necessário, usamos f ' ' ( x ) .

Se f ' ' x > 0 no ponto crítico, é um mínimo local.

Se f ' ' ( x )   <   0 , é um máximo local.

Passo 3

c) Encontrar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão

Para determinar a concavidade e os pontos de inflexão:

Segunda Derivada: Calculamos f ' ' x , que nos dá a concavidade da função.

Zerar a Segunda Derivada: Encontramos os pontos onde f ' ' x = 0 , ou onde f ' ' ( x ) não está definida.

Teste de Sinal: Analisamos o sinal de f ' ' ( x ) em intervalos entre os pontos críticos da segunda derivada para determinar a concavidade:

- Concavidade para Cima: f ' ' ( x )   >   0   indica que a função é côncava para cima.

- Concavidade para Baixo: f ' ' ( x )   <   0   indica que a função é côncava para baixo.

Pontos de Inflexão: Identificamos os pontos onde a concavidade muda, ou seja, onde f ' ' ( x ) muda de sinal.

Passo 4

Agora sim vamos resolver as letras

  1. Para achar os intervalos vamos calcular a primeira derivada, e analisar os sinais:

    2. f ' x = x 2 ln ⁡ x '

    Vamos usar as regras de derivação do produto, do polinômio e da função logarítmica:

    f x g x ' = f ' ( x ) g x + g ' x f x

    x n ' = n x n - 1

    ln ⁡ f x ' = f ' ( x ) f ( x )

    Passo 5

    Vamos agora aplicar:

    f ' x = x 2 ln ⁡ x ' = x 2 . ln ⁡ x + x 2 . ln ⁡ x ' = 2 x 2 - 1 . ln ⁡ x + x 2 . 1 x = 2 x ln ⁡ x + x = x 2 ln ⁡ x + 1 = 0

    x = 0   o u   x = e - 1 2

    Passo 6

  2. Para ser um ponto de máximo ou mínimo local, o sinal de f ' deve mudar nesse ponto. Vemos que em x = e - 1 2 há mudança do sinal de f ' , e como em x = e - 1 2 o sinal muda de negativo para positivo, então ele é um ponto de mínimo local.

    3. Para achar os valores é só substituir os valores em f :

    f e - 1 2 = e - 1 2 2 ln ⁡ e - 1 2 = - 0,18

    Passo 7

  3. Para achar os intervalos de concavidade devemos achar f ' ' ( x ) e analisar os sinal vamos derivar:

f ' ' x = x 2 ln ⁡ x + 1 ' = x ' . 2 ln ⁡ x + 1 + x . 2 ln ⁡ x + 1 ' = x 1 - 1 . 2 ln ⁡ x + 1 + x . 2 . 1 x + 0 = 2 ln ⁡ x + 1 + 2 = 2 ln ⁡ x + 3 = 0

ln ⁡ x = - 3 2 → x = e - 3 2

O denominador é sempre positivo, então o sinal de f ' ( x ) vai ser determinado pelo numerador:

Para garantir que x = e - 3 2 é ponto de inflexão, devemos ver se f ( e - 3 2 ) existe:

f e - 3 2 = e - 3 2 2 ln ⁡ e - 3 2 = - 0,07

Temos que o ponto de inflexão é e - 3 2 , - 0,07 .

Resposta

  1. Decrescente em 0 , e - 1 2 e crescente em e - 1 2 , ∞
  2. f e - 1 2 = - 0,18 é mínimo local
  3. Concavidade para baixo em 0 , e - 3 2 e para cima em e - 3 2 , ∞ e ponto de inflexão é e - 3 2 , - 0,07
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Encontre as dimensões do retângulo com área máxima que pode ser inscrito na elipse x 4 2 + y 3 2 = 1 (Figura Ex- 61 ).
Em cada parte, encontre o mínimo absoluto m e o máximo absoluto M de f no intervalo dado (se existirem) e indique onde ocorrem os extremos absolutos. f x = 2 x 5 - 5 x 4 + 7 ; - 1,3 f x = 3 - x 2 - x
Em cada parte, use um recurso gráfico para estimar os valores máximo e mínimo absoluto de f , se houver, no intervalo dado, e então use os métodos do Cálculo para encontrar os valores exatos. f x = x
Seja: f x = x ,0x1 1 2 ,x = 0,1 Explique por que f não tem um valor mínimo nem um valor máximo no intervalo fechado 0 ,1 .
7-16. Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f nos intervalos fechados dados e indique onde ocorrem esses valores.15. f x = 1 + 9 - x 2 ; - 5 ,1