Mostre que tg(x) > x para 0 < x < (pi / 2)

[Sugestão: Mostre que f(x) = tg(x) - x é crescente em (0, pi/2) ].

Passo 1

Bom galera nessa questão temos que provar que:

t g   x > x

No intervalo em que 0 < x < π / 2

Usando o que o enunciado dá de sugestão temos:

f x = t g   x - x

Se t g   x > x , então a função será crescente neste intervalo.

Mas como vamos provar isso?

Passo 2

Para começar vamos derivar nossa função:

f x = t g   x - x

f ' x = sec ² ⁡ x - 1

Para que esta derivada seja crescente:

sec ² ⁡ x - 1 > 0

Isolando:

sec ² ⁡ x > 1

Concluindo, esta função será crescente se sec ² ⁡ x for maior que 1.

Mas o que é a secante?

sec ² ⁡ x = 1 cos ² ⁡ x

Substituindo:

1 cos 2 ⁡ x > 1

1 > cos ² ⁡ x

Rearranjando:

cos ² ⁡ x < 1

Muito bem, vamos tirar a raiz:

cos ⁡ x < 1

Como o cosseno está no denominador ele não pode ser 0 , então:

0 < cos ⁡ x < 1

Já está fácil ! Pelo círculo trigonométrico ou círculo unitário:

Agora nós podemos concluir que:

0 < x < π 2

Resposta

Resolução nos Passos.

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