Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.8 - Ex. 13
Os fósseis de dinossauros em geral são datados usando outro elemento em vez do carbono, como o potássio-40, que tem uma meia-vida maior (neste caso, aproximadamente 1,25 bilhão de anos). Suponha que a quantidade mínima detectável é de 0,1% e um dinossauro é datado de 40K para ter 68 milhões de anos. É um encontro possível? Em outras palavras, qual é a idade máxima de um fóssil que poderíamos encontrar usando 40K?
Passo 1
Fala aí! tudo certinho?
Nesse problema temos um método para datar objetos antigos... a partir da análise de potássio-40.
A partir desse método, queremos descobrir qual é a idade máxima que um fóssil pode ser datado se a quantidade mínima detectável é de .
Parece complicado?
Para resolver esse problema vamos utilizar a mesma equação do exercício 12, ou seja
Onde é a quantidade de potássio em um tempo (em anos), é a quantidade inicial e é uma constante.
Foi dito que o tempo de meia vida do potássio-40 é de de anos... a partir dessa informação podemos obter o valor de e posteriormente, substituindo o valor da porcentagem mínima, podemos obter a idade máxima que esse método consegue datar.
Bora lá!
Passo 2
Como o tempo de meia vida do potássio-40 é de anos, então
Substituindo essa relação na equação do passo 1, temos
Vamos isolar aplicando propriedades logarítmicas como e .
Aplicando nos dois lados, vamos obter
Isolando e sabendo que
Portanto, a equação que descreve a concentração de potássio-40, é dada por
Reaplicando as propriedades logarítmicas, podemos chegar ainda em
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Agora, se a concentração máxima que pode ser analisada é de , então .
Vamos obter o valor de que corresponde a esse resultado...
Aplicando nos dois lados novamente
Aqui aplicamos uma propriedade logarítmica dada por , ou seja
Isolando
Portanto, é sim possivel datar um fóssil de milhões de anos!
E aí! entendeu tudo? Responde Aí!