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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.2 - Ex. 27

Determine os limites nos Exercícios 23-42.

underset(t -> 1)(lim) (t^2 + t - 2)/(t^2 - 1)

Passo 1

Galera sempre que tiver que calcular um limite, vamos fazer um combinado: substituir o valor de x na função! Se der um número, esse vai ser o valor do limite.

Passo 2

No nosso caso, o ponto é t = 1 e a função f (t) = (t^2 + t - 2)/(t^2 - 1) . Então, temos que

f (1) = (( 1 )^2 + ( 1 ) - 2)/(( 1 )^2 - 1) = (0)/(0)

Passo 3

Como não deu um número, precisamos manipular o limite!

Sempre que tiver um polinômio no numerador e no denominador, vamos tentar fatorar esses polinômios.

Nesse caso nem o denominador nem o numerador estão fatorados. Então precisamos fatorar ambos! Vamos começar pelo numerador.

Vamos lembrar que todo polinômio do segundo grau da forma a t^2 + b t + c pode ser reescrito como:

a t^2 + b t + c = a (t - t_1) (t - t_2)

Onde t_1 e t_2 são as raízes do polinômio. No nosso caso temos que a = 1 , b = 1 , c = - 2 e

t^2 + t - 2 = 1 ( t - t_1 ) ( t - t_2 )

Passo 4

Precisamos então achar as raízes! Para isso, vamos usar a fórmula de bháskara

t_1 , t_2 = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a) = (- 1 +- sqrt(( 1 )^2 - 4.1 . ( - 2 )))/(2.1) = 1 ; - 2

Então vamos ter que o denominador vai ficar:

t^2 + t - 2 = 1 (t - t_1) (t - t_2) = 1 . (t - (1)) (t - (- 2)) = ( t - 1 ) ( t + 2 )

Passo 5

Agora vamos fatorar o denominador ( t^2 - 1 ) . Aqui precisamos lembrar do caso:

(a^2 - b^2) = ( a + b ) ( a - b )

Comparando as expressões, temos que a = t e b = 1 . Então

t^2 - 1 = ( t + 1 ) ( t - 1 )

Passo 6

Vamos juntar tudo então

underset(t -> 1)(lim) (t^2 + t - 2)/(t^2 - 1) = underset(t -> 1)(lim) (( t - 1 ) ( t + 2 ))/(( t + 1 ) ( t - 1 )) = underset(t -> 1)(lim) (( t + 2 ))/(( t + 1 ))

Agora sim, podemos substituir o ponto na função:

underset(t -> 1)(lim) (( t + 2 ))/(( t + 1 )) = ((1) + 2)/((1) + 1) = (3)/(2)

Resposta

underset(t -> 1)(lim) (t^2 + t - 2)/(t^2 - 1) = (3)/(2)

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