Determine os limites nos Exercícios 23-42.

lim t → 1 ⁡ t 2 + t - 2 t 2 - 1

Passo 1

Galera sempre que tiver que calcular um limite, vamos fazer um combinado: substituir o valor de x na função! Se der um número, esse vai ser o valor do limite.

Passo 2

No nosso caso, o ponto é t = 1 e a função f t = t 2 + t - 2 t 2 - 1 . Então, temos que

f 1 = ( 1 ) 2 + ( 1 ) - 2 ( 1 ) 2 - 1 = 0 0

Passo 3

Como não deu um número, precisamos manipular o limite!

Sempre que tiver um polinômio no numerador e no denominador, vamos tentar fatorar esses polinômios.

Nesse caso nem o denominador nem o numerador estão fatorados. Então precisamos fatorar ambos! Vamos começar pelo numerador.

Vamos lembrar que todo polinômio do segundo grau da forma a t 2 + b t + c pode ser reescrito como:

a t 2 + b t + c = a t - t 1 t - t 2

Onde t 1 e t 2 são as raízes do polinômio. No nosso caso temos que a = 1 ,   b = 1 ,   c = - 2 e

t 2 + t - 2 = 1 ( t - t 1 ) ( t - t 2 )

Passo 4

Precisamos então achar as raízes! Para isso, vamos usar a fórmula de bháskara

t 1 , t 2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - 1 ± ( 1 ) 2 - 4.1 . ( - 2 ) 2.1 = 1 ; - 2

Então vamos ter que o denominador vai ficar:

t 2 + t - 2 = 1 t - t 1 t - t 2 = 1 . t - 1 t - - 2 = ( t - 1 ) ( t + 2 )

Passo 5

Agora vamos fatorar o denominador ( t 2 - 1 ) . Aqui precisamos lembrar do caso:

a 2 - b 2 = ( a + b ) ( a - b )

Comparando as expressões, temos que a = t e b = 1 . Então

t 2 - 1 = ( t + 1 ) ( t - 1 )

Passo 6

Vamos juntar tudo então

lim t → 1 ⁡ t 2 + t - 2 t 2 - 1 = lim t → 1 ⁡ ( t - 1 ) ( t + 2 ) ( t + 1 ) ( t - 1 ) = lim t → 1 ⁡ ( t + 2 ) ( t + 1 )

Agora sim, podemos substituir o ponto na função:

lim t → 1 ⁡ ( t + 2 ) ( t + 1 ) = 1 + 2 1 + 1 = 3 2

Resposta

lim t → 1 ⁡ t 2 + t - 2 t 2 - 1 = 3 2

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