Determine os limites nos Exercícios 23-42.

underset(x -> 9)(lim) (sqrt(x) - 3)/(x - 9)

Passo 1

Galera sempre que tiver que calcular um limite, vamos fazer um combinado: substituir o valor de x na função! Se der um número, esse vai ser o valor do limite.

Passo 2

No nosso caso, o ponto é x = 9 e a função f (x) = (sqrt(x) - 3)/(x - 9) . Então, temos que

f ( 9 ) = (sqrt(9) - 3)/(9 - 9) = (0)/(0)

Passo 3

Como não deu um número, precisamos manipular o limite!

Sempre que tiver uma raiz nós vamos multiplicar em cima e embaixo pelo conjugado! Para achar o conjugado basta inverter o sinal do termo, ou seja, o conjugado de sqrt(x) - 3 é:

sqrt(x) + 3

Passo 4

Então vamos fazer a multiplicação

underset(x -> 9)(lim) ((sqrt(x) - 3)/(x - 9)) * ((sqrt(x) + 3)/(sqrt(x) + 3)) = underset(x -> 9)(lim) (( sqrt(x) - 3 ) ( sqrt(x) + 3 ))/(( x - 9 ) ( sqrt(x) + 3 ))

Agora precisamos lembrar do caso da diferença de quadrados que diz que:

(a + b) (a - b) = a^2 - b^2

No nosso caso, comparando as expressões vamos ter que a = sqrt(x) e b = 3 . Então o numerador vai ficar

(sqrt(x) - 3) (sqrt(x) + 3) = (sqrt(x))^2 - 3^2 = x - 9

Passo 5

Vamos juntar tudo então

underset(x -> 9)(lim) (( sqrt(x) - 3 ) ( sqrt(x) + 3 ))/(( x - 9 ) ( sqrt(x) + 3 )) = underset(x -> 9)(lim) (( x - 9 ))/(( x - 9 ) ( sqrt(x) + 3 )) = underset(x -> 9)(lim) (1)/(( sqrt(x) + 3 ))

Agora sim, podemos substituir o ponto na função:

underset(x -> 9)(lim) (1)/(( sqrt(x) + 3 )) = (1)/(sqrt(9) + 3) = (1)/(6)

Resposta

underset(x -> 9)(lim) (sqrt(x) - 3)/(x - 9) = (1)/(6)

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