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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.2 - Ex. 24

Determine os limites nos Exercícios 23-42.

underset(x -> - 3)(lim) (x + 3)/(x^2 + 4 x + 3)

Passo 1

Galera sempre que tiver que calcular um limite, vamos fazer um combinado: substituir o valor de x na função! Se der um número, esse vai ser o valor do limite.

Passo 2

No nosso caso, o ponto é x = - 3 e a função f (x) = (x + 3)/(x^2 + 4 x + 3) . Então, temos que

f (- 3) = (( - 3 ) + 3)/(( - 3 )^2 + 4 ( - 3 ) + 3) = (0)/(0)

Passo 3

Como não deu um número, precisamos manipular o limite!

Sempre que tiver um polinômio no numerador e no denominador, vamos tentar fatorar esses polinômios.

Nesse caso o numerador já está fatorado, então basta olhar o denominador. Vamos lembrar que todo polinômio do segundo grau da forma a x^2 + b x + c pode ser reescrito como:

a x^2 + b x + c = a (x - x_1) (x - x_2)

Onde x_1 e x_2 são as raízes do polinômio. No nosso caso temos que a = 1 , b = 4 , c = 3 e

x^2 + 4 x + 3 = 1 ( x - x_1 ) ( x - x_2 )

Passo 4

Precisamos então achar as raízes! Para isso, vamos usar a fórmula de bháskara

x_1 , x_2 = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a) = (- 4 +- sqrt(4^2 - 4.1 . 3))/(2.1) = - 3 , - 1

Então vamos ter que o denominador vai ficar:

x^2 + 4 x + 3 = 1 (x - x_1) (x - x_2) = 1 . (x - (- 1)) (x - (- 3)) = ( x + 1 ) ( x + 3 )

Passo 5

Vamos juntar tudo então

underset(x -> - 3)(lim) (x + 3)/(x^2 + 4 x + 3) = underset(x -> - 3)(lim) (x + 3)/(( x + 1 ) ( x + 3 )) = underset(x -> - 3)(lim) (1)/(( x + 1 ))

Agora sim, podemos substituir o ponto na função:

underset(x -> - 3)(lim) (1)/(( x + 1 )) = (1)/((- 3) + 1) = - (1)/(2)

Resposta

underset(x -> - 3)(lim) (x + 3)/(x^2 + 4 x + 3) = - (1)/(2)

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Seja G x = x + 4 - x ⟦ ⟧ ⟦ ⟧. Faça um esboço do gráfico de G .Ache, se existirem a ) lim x → 3 + ⁡ G x b ) lim x → 3 - ⁡ G x c ) lim x → 3 ⁡ G x
Faça um esboço do gráfico e ache o limite indicado, se existir; se não existir, indique a razão disso. G t = t + 1 3 s e t ≤ - 1 1 - t 2 s e - 1t1 t - 1 3 s e 1 ≤ t a ) lim x → - 1 - ⁡ G t b ) lim x →
Compare a Definição 1.3.1 informal com a Definição 1.4.2. (a) Quais partes da Definição 1.4.2 correspondem à expressão “os valores de f ( x ) ficam tão próximos quanto queiramos de L ” da Definição 1.
Compare a Definição 1.1.1 informal com a Definição 1.4.1. (a) Quais partes da Definição 1.4.1 correspondem à expressão “os valores de f ( x ) puderem ser tornados tão próximos quanto queiramos de L ”
Forneça definições rigorosas de lim x → a + ⁡ f x = L e lim x → a - ⁡ f x = L .