Determine os limites nos Exercícios 23-42.

underset(x -> 0)(lim) ((1)/(x - 1) + (1)/(x + 1))/(x)

Passo 1

Galera sempre que tiver que calcular um limite, vamos fazer um combinado: substituir o valor de x na função! Se der um número, esse vai ser o valor do limite.

Passo 2

No nosso caso, o ponto é x = 0 e a função f (x) = ((1)/(x - 1) + (1)/(x + 1))/(x) . Então, temos que

f ( 0 ) = ((1)/(( 0 ) - 1) + (1)/(( 0 ) + 1))/(0) = (0)/(0)

Passo 3

Como não deu um número, precisamos manipular o limite!

Sempre que tivermos uma fração no numerador ou denominador, a 1ª coisa a se fazer é colocar todo o termo no mesmo denominador.

Ou seja vamos colocar (1)/(x - 1) + (1)/(x + 1) no mesmo denominador!

(1)/(x - 1) + (1)/(x + 1) = ((x + 1) + ( x - 1 ))/((x - 1) (x + 1)) = (2 x)/((x - 1) (x + 1))

Passo 4

Agora vamos juntar tudo

underset(x -> 0)(lim) ((1)/(x - 1) + (1)/(x + 1))/(x) = underset(x -> 0)(lim) ((2 x)/((x - 1) (x + 1)))/(x) = underset(x -> 0)(lim) (2 x)/(x (x - 1) (x + 1)) = underset(x -> 0)(lim) (2)/((x - 1) (x + 1))

Agora podemos substituir o valor do ponto na função do limite:

underset(x -> 0)(lim) (2)/((x - 1) (x + 1)) = (2)/((0 - 1) (0 + 1)) = - 2

Resposta

underset(x -> 0)(lim) ((1)/(x - 1) + (1)/(x + 1))/(x) = - 2

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