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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 1.4 - Ex. 9f

Dada F (x) = sqrt(2 x + 3) , ache (F (x + h) - F (x))/(h) , h != 0 .

Passo 1

Dada uma função f (x) , sempre que quisermos saber o valor que ela assume em determinado valor de x, basta substituir em sua fórmula todos os x por aquilo que vier dentro dos parênteses da f.

Passo 2

Para achar F (x + h) , substituímos x por x + h :

F (x + h) = sqrt(2 (x + h) + 3) = sqrt(2 x + 2 h + 3)

Passo 3

Agora subtraímos F (x + h) - F (x) :

F (x + h) - F (x) = sqrt(2 x + 2 h + 3) - sqrt(2 x + 3)

Passo 4

Então dividimos o resultado por h:

(F (x + h) - F (x))/(h) = (sqrt(2 x + 2 h + 3) - sqrt(2 x + 3))/(h) * (sqrt(2 x + 2 h + 3) + sqrt(2 x + 3))/(sqrt(2 x + 2 h + 3) + sqrt(2 x + 3))

(F (x + h) - F (x))/(h) = ((sqrt(2 x + 2 h + 3))^2 - (sqrt(2 x + 3))^2)/(h * (sqrt(2 x + 2 h + 3) + sqrt(2 x + 3))) = (2 x + 2 h + 3 - 2 x - 3)/(h * (sqrt(2 x + 2 h + 3) + sqrt(2 x + 3)))

(F (x + h) - F (x))/(h) = (2 h)/(h * (sqrt(2 x + 2 h + 3) + sqrt(2 x + 3)))

Como h != 0 ,

(F (x + h) - F (x))/(h) = (2)/((sqrt(2 x + 2 h + 3) + sqrt(2 x + 3)))

Resposta

(F (x + h) - F (x))/(h) = (2)/((sqrt(2 x + 2 h + 3) + sqrt(2 x + 3)))

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