Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.2 - Ex. 45
Dada: . (a) Mostre que para todo no domínio de . (b) Prove que não existe uma constante para a qual para todo em seu domínio. (c) Por que a afirmação da parte (b) não contradiz o Teorema 5.1.2?
Passo 1
A questão fornece a função e pede para fazermos várias considerações acerca dela. No item (a) é pedido para provarmos que . Para isso, basta derivar a função:
Assim,
Logo,
Portanto,
Passo 2
No item (b) é pedido para mostrarmos que não existe uma constante única tal que para todo no domínio de , isto é, para mostrarmos que mesmo tendo derivada nula em todo o seu domínio ela não é uma função constante.
Por exemplo, para , temos que
Sabemos que , agora para teremos que usar um truque:
Assim, pela imagem da função arco cotangente, temos que . Assim,
Por outro lado, para :
Analogamente, , enquanto :
Assim, vemos que , de modo que não existe tal que para todo no domínio de .
Passo 3
No item (c) é pedido para explicarmos por que a afirmação do item (b) não contradiz o teorema 5.1.2. Este teorema basicamente estabelece que se em um intervalo , então .
Neste caso, temos que em seu domínio, porém vimos que não é constante. Isso aparentemente contradiz o teorema e a justificativa do porquê não contradiz é bem sutil: o domínio de não é um intervalo “bonitinho”, note que , que estaria no meio do intervalo não faz parte do domínio de . Assim, as hipóteses do teorema não são válidas e por isso ele não é válido! Se o domínio de fosse um intervalo e em todos os pontos desse intervalo tivéssemos , aí sim teríamos que .
Resposta
Demonstração.