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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 7.2 - Ex. 4a

Dada a esfera de raio 2 , centrada na origem, encontre a equação do plano tangente a ela no ponto 1,1 , 2 , considerando a esfera como:

  1. Uma superfície parametrizada por

φ ϕ ,   θ = 2 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ ,   2 sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ ,   2 cos ⁡ ϕ ,   0 ≤ ϕ ≤ π ,   0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 1

Inicialmente, vamos determinar como podemos determinar o ponto 1 ,   1 ,   2 na superfície parametrizada.

Como x = 2 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ , y = 2 sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ , então elevando essas duas equações ao quadrado e somando:

x 2 + y 2 = 2 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ 2 + 2 sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ 2 x 2 + y 2 = 4 sin 2 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + 4 sin 2 ⁡ ϕ sin 2 ⁡ θ x 2 + y 2 = 4 sin 2 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ

Da relação fundamental da trigonometria, cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 . Logo,

x 2 + y 2 = 4 sin 2 ⁡ ϕ

Porém, em 1 ,   1 ,   2 , temos x = 1 = y . Logo,

1 2 + 1 2 = 4 sin 2 ⁡ ϕ 2 = 4 sin 2 ⁡ ϕ sin ⁡ ϕ = ± 1 2

Porém, como 0 ≤ ϕ ≤ π , então sin ⁡ ϕ > 0 . Assim,

sin ⁡ ϕ = 1 2

Como z = 2 , então segue que

2 cos ⁡ ϕ = 2 cos ⁡ ϕ = 2 2

Portanto, vemos que ϕ = π / 4 ! Assim, temos que:

x = 2 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ 1 = 2 sin ⁡ 45 ° cos ⁡ θ 1 = 2 2 2 cos ⁡ θ cos ⁡ θ = 1 / 2

Da mesma forma, mostramos que

sin ⁡ θ = 1 / 2

Logo, temos também que θ = π / 4 !! Portanto, θ 0 ,   ϕ 0 = π 4 , π 4 .

Passo 2

Agora que já determinamos θ ,   ϕ no ponto 1 ,   1 ,   2 podemos partir para o cálculo da equação do plano. Sabemos que ∂ φ ∂ θ θ 0 ,   ϕ 0 × ∂ φ ∂ ϕ θ 0 , ϕ 0 é um vetor normal ao plano. Assim, vamos inicialmente determinar essas derivadas parciais:

∂ φ ∂ θ = 2 sin ⁡ ϕ - sin ⁡ θ , 2 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ , 0 ∂ φ ∂ θ = - 2 sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ , 2 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ , 0 ∂ φ ∂ θ π 4 , π 4 = - 2 sin ⁡ π 4 sin ⁡ π 4 ,   2 sin ⁡ π 4 cos ⁡ π 4 , 0 ∂ φ ∂ θ π 4 , π 4 = - 2 2 2 ⋅ 2 2 ,   2 2 2 2 2 ,   0 ∂ φ ∂ θ π 4 , π 4 = - 1 ,   1 ,   0

Também:

∂ φ ∂ ϕ = 2 cos ⁡ ϕ sin ⁡ θ ,   2 cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ ,   - 2 sin ⁡ ϕ ∂ φ ∂ θ π 4 , π 4 = 2 cos ⁡ π 4   sin ⁡ π 4 ,   2 cos ⁡ π 4 cos ⁡ π 4 ,   - 2 sin ⁡ π 4 ∂ φ ∂ θ π 4 , π 4 = 2 2 2 2 2 ,   2 2 2 2 2 ,   - 2 2 2 ∂ φ ∂ θ π 4 , π 4 = 1 ,   1 ,   - 2

Passo 3

Vamos agora fazer o produto vetorial:

∂ φ ∂ θ π 4 , π 4 × ∂ φ ∂ ϕ π 4 , π 4 = - 1,1 , 0 × 1,1 , - 2 - 1,1 , 0 × 1,1 , - 2 = i j k - 1 1 0 1 1 - 2 = - 2 ,   - 2 ,   - 2

Portanto a equação do plano será:

- 2 x - 2 y - 2 z + d = 0

onde d é a uma constante. Podemos calculá-lo, notando que o plano passa pelo ponto 1,1 , 2 . Sendo assim,

- 2 ⋅ 1 - 2 ⋅ 1 - 2 ⋅ 2 + d = 0 d = 4 2

Assim, a equação fica:

- 2 x - 2 y - 2 z + 4 2 = 0 2 x + 2 y + 2 z - 4 2 = 0

Se dividirmos ambos os lados dessa equação por 2 também podemos reescrevê-la como

x + y + 2 z - 4 = 0

Resposta

x + y + 2 z - 4 = 0 .

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Identifique a superfície que tem a equação paramétrica dada. r → u , v = 2 s e nu i → + 3 cos ⁡ u j → + v k → ,0 ≤ v ≤ 2
Encontre uma parametrização para o hiperboloide x 2 + y 2 - z 2 = 1 .
Considere a superfície parametrizada por φ r , θ = r cos ⁡ θ ,r sin ⁡ θ ,θ 0 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ 4 π Esboce essa superfície.
Dada a esfera de raio 2 , centrada na origem, encontra a equação do plano tangente a ela no ponto 1,1 ,2 , considerando a esfera como:c) o gráfico de g x , y = 4 - x 2 - y 2 .