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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 7.2 - Ex. 6a

Considere a superfície parametrizada por

φ r , θ = r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ ,   θ                 0 ≤ r ≤ 1               0 ≤ θ ≤ 4 π

  1. Esboce essa superfície.

Passo 1

Queremos fazer um esboço da superfície φ r , θ = r cos ⁡ θ ,   r sin ⁡ θ ,   θ . Notemos que:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Logo,

x 2 + y 2 = r cos ⁡ θ 2 + r sin ⁡ θ 2 x 2 + y 2 = r 2 cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ

Mas sabemos que cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 para todos os valores de θ . Assim,

x 2 + y 2 = r 2

Assim, como 0 ≤ r ≤ 1 , segue que quando θ varia, a superfície vai descrevendo círculos de raio 0 ≤ r ≤ 1 .

Passo 2

Logo, quando θ vai indo de 0 até 4 π , vamos andando ao longo do eixo z , enquanto vamos descrevendo círculos paralelos ao plano x y .

Passo 3

Veja a figura:

Resposta

Ver figura.

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