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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 7.2 - Ex. 4c

Dada a esfera de raio 2 , centrada na origem, encontra a equação do plano tangente a ela no ponto 1,1 ,   2 , considerando a esfera como:

c) o gráfico de g x , y = 4 - x 2 - y 2 .

Passo 1

Uma parametrização natural de uma função explicita é:

φ x , y = x ,   y ,   g x , y

Sabemos que ∂ φ ∂ x x 0 , y 0 × ∂ φ ∂ y x 0 , y 0 é um vetor normal à superfície no ponto x 0 ,   y 0 ,   z 0 . Dessa maneira, vamos começar calculando essas derivadas:

Passo 2

∂ φ ∂ x = ∂ ∂ x x ,   y ,   4 - x 2 - y 2 ∂ φ ∂ x = ∂ ∂ x x , ∂ ∂ x y , ∂ ∂ x 4 - x 2 - y 2 ∂ φ ∂ x = 1 ,   0 , - x 4 - x 2 - y 2 ∴ ∂ φ ∂ x 1,1 = 1 ,   0 ,   - 1 4 - 1 2 - 1 2 = 1,0 , - 1 2

Da mesma forma, temos:

∂ φ ∂ y = ∂ ∂ y x , y , 4 - x 2 - y 2 ∂ φ ∂ y = 0 ,   1 ,   - y 4 - x 2 - y 2 ∴ ∂ φ ∂ y 1,1 = 0,1 , - 1 4 - 1 2 - 1 2 = 0 ,   1 ,   - 1 2

Passo 3

Assim, segue que:

1,0 , - 1 2 × 0,1 , - 1 2 = i j k 1 0 - 1 / 2 0 1 - 1 / 2 = 1 2 , 1 2 , 1

Passo 4

Portanto a equação do plano será:

1 2 x + 1 2 y + z + d = 0 onde d é obtido fazendo o plano passar por 1,1 , 2 :

1 2 + 1 2 + 2 + d = 0 d = - 2 2

Assim,

1 2 x + 1 2 y + z - 2 2 = 0 x + y + 2 z - 4 = 0

Resposta

x + y + 2 z - 4 = 0 .

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Dada a esfera de raio 2 centrada na origem, encontre a equação do planto tangente a ela no ponto 1,1 , 2 , considerando a esfera como:b) Uma esfera de nível de F x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 .
Considere a superfície parametrizada por φ r ,θ =r cos ⁡ θ ,r sin ⁡ θ ,θ ,0 ≤ r ≤ 1 , 0 ≤ θ ≤ 4 π b) Encontre uma expressão para um vetor normal à superfície
Considere a superfície parametrizada por φ r , θ = r cos ⁡ θ ,r sin ⁡ θ , θ ,0 ≤ r ≤ 1 ,0 ≤ θ ≤ 4 π c) Essa superfície é regular?
b) Encontre um vetor normal a esta superfície
c) Encontre a equação do plano tangente em x 0 , y 0 , 0 .