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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.Revisão - Ex. 67

Dada

f ( x ) = {[[a x^2 + b s e x <= 1],[(1)/(|x|) s e x > 1]])

Ache os valores de a e b, tais que f ' ( 1 ) exista.

Passo 1

Vamos primeiro reescrever a função, mas sem o módulo, pois como a função se comporta daquela maneira para x > 1 o valor de x sempre será positivo:

f ( x ) = {[[a x^2 + b s e x <= 1],[(1)/(x) s e x > 1]])

Passo 2

Já que o enunciado diz que f ' ( 1 ) existe, então a função é contínua em 1, pois se a derivada existe em um ponto, a função é contínua nele. Então podemos dizer que os limites pela esquerda e pela direita da função são iguais:

underset(x -> 1^-)(l i m) f (x) = underset(x -> 1^+)(l i m) f (x)

Calculando cada um dos limites:

underset(x -> 1^-)(l i m) f (x) = underset(x -> 1^-)(l i m) (a x^2 + b) = a + b

underset(x -> 1^+)(l i m) f (x) = underset(x -> 1^+)(l i m) (1)/(x) = 1

Então:

a + b = 1

Passo 3

Como o enunciado fala que f ' ( 1 ) precisa existir, a f ' ( x ) então existe, e os limites laterais dela quando x tende a 1 pela esquerda e pela direita devem ser iguais,

underset(x -> 1^+)(lim) f^' (x) = underset(x -> 1^-)(lim) f^' (x)

a f ' ( x ) então será

f ' ( x ) = {[[2 a x s e x <= 1],[- (1)/(x^2) s e x > 1]])

Aplicando o limite pela esquerda na f ' ( x ) :

f^'_- (1) = underset(x -> 1^-)(lim) f^' (x) = underset(x -> 1^-)(l i m) (2 a x) = 2 a

Aplicando o limite pela direita:

f^'_+ (1) = underset(x -> 1^+)(lim) f^' (x) = underset(x -> 1^+)(l i m) (- (1)/(x^2)) = - 1

Igualando as duas:

2 a = - 1

a = - (1)/(2)

Passo 4

Substituindo o valor de a na equação que encontramos no Passo 2:

a + b = 1

b = (3)/(2)

Resposta

a = - (1)/(2)

b = - (3)/(2)

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