Quando um pêndulo com 10 cm de comprimento balança, de modo que θ seja a medida em radianos do triângulo formado pelo pêndulo e uma reta vertical, então, se h θ cm for a altura da extremidade do pêndulo acima da sua posição mais baixa, h θ = 20 s e n 2 1 2 θ . Ache a taxa de variação instantânea de h ( θ ) em relação a θ quando (a) θ = π 3 ; (b)   θ = π 2 .

Passo 1

Bom, a questão nos dá a equação do pêndulo e nos pede a taxa de variação, com isso, já sabemos que precisamos usar a derivada da função para calcular cada valor instantâneo das letras (a) e (b). Nossa equação é:

h θ = 20 s e n 2 1 2 θ

Passo 2

A derivada nós podemos calcular através da Regra da Cadeia. Vamos primeiro derivar a função mais ‘de fora’, que no caso é a potência quadrada:

d d t t 2 = 2 t

Então substituímos o t pela função de dentro e multiplicamos pela derivada dela:

h ' θ = 40 s e n 1 2 θ d d θ s e n 1 2 θ

Passo 3

Agora vamos resolver a derivada que apareceu:

s e n 1 2 θ

Precisamos usar a Regra da Cadeia de novo, dessa vez a função de fora é o seno, então fazemos a derivada dele primeiro:

d d t s e n t = c o s t

Substituindo pela função de dentro e multiplicando pela sua derivada:

c o s 1 2 θ d d θ 1 2 θ

Resolvendo a derivada que sobrou:

c o s 1 2 θ .   1 2 = 1 2 c o s 1 2 θ

Passo 4

Vamos substituir o resultado lá na derivada do Passo 2, o que fica:

h ' θ = 40 s e n 1 2 θ   1 2 c o s 1 2 θ

h ' θ = 20 s e n 1 2 θ c o s 1 2 θ

Essa será nossa equação de taxa

Passo 5

Então basta substituir os valores dados nas letras (a) e (b) do enunciado na equação de taxa:

Para (a) θ = π 3 :

h ' π 3 = 20 s e n π 6 c o s π 6 = 10 3   c m

Passo 6

E para (b) θ = π 2 , repetimos o processo:

h ' π 2 = 20 s e n π 4 c o s π 4 = 10   c m

Resposta

  1. h ' π 3 = 10 3   c m
  2. h ' π 3 = 10   c m
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