Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.6 - Ex. 45
Quando um pêndulo com 10 cm de comprimento balança, de modo que seja a medida em radianos do triângulo formado pelo pêndulo e uma reta vertical, então, se cm for a altura da extremidade do pêndulo acima da sua posição mais baixa, . Ache a taxa de variação instantânea de em relação a quando (a) ; (b).
Passo 1
Bom, a questão nos dá a equação do pêndulo e nos pede a taxa de variação, com isso, já sabemos que precisamos usar a derivada da função para calcular cada valor instantâneo das letras (a) e (b). Nossa equação é:
Passo 2
A derivada nós podemos calcular através da Regra da Cadeia. Vamos primeiro derivar a função mais ‘de fora’, que no caso é a potência quadrada:
Então substituímos o t pela função de dentro e multiplicamos pela derivada dela:
Passo 3
Agora vamos resolver a derivada que apareceu:
Precisamos usar a Regra da Cadeia de novo, dessa vez a função de fora é o seno, então fazemos a derivada dele primeiro:
Substituindo pela função de dentro e multiplicando pela sua derivada:
Resolvendo a derivada que sobrou:
Passo 4
Vamos substituir o resultado lá na derivada do Passo 2, o que fica:
Essa será nossa equação de taxa
Passo 5
Então basta substituir os valores dados nas letras (a) e (b) do enunciado na equação de taxa:
Para (a) :
Passo 6
E para (b) , repetimos o processo: