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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.Revisão - Ex. 61

Ache f ' ( x ) se f (x) = ( |x + 1| - | x | )^2 .

Passo 1

Para encontrarmos f^' ( x ) vamos precisar derivar a função dada:

f ' (x) = (d)/(d x) [( |x + 1| - | x | )^2]

Precisaremos aplicar a Regra da Cadeia, primeiro derivamos a função de fora:

(d)/(d t) (t^2) = 2 t

Então substituímos t pela função de dentro, e multiplicamos tudo pela derivada dela:

(d)/(d x) [( |x + 1| - | x | )^2] = 2 ( |x + 1| - |x| ) (d)/(d x) ( |x + 1| - |x| )

Resolvendo a derivada que apareceu:

(d)/(d x) (|x + 1| - |x|) = (d)/(d x) (|x + 1|) - (d)/(d x) (|x|)

A derivada da função módulo é por definição:

(d)/(d x) (|x|) = (x)/(|x|)

Então ficamos com:

(d)/(d x) (|x + 1| - |x|) = (x + 1)/(|x + 1|) - (x)/(|x|)

Por fim:

(d)/(d x) [( |x + 1| - | x | )^2] = 2 ( |x + 1| - |x| ) ((x + 1)/(|x + 1|) - (x)/(|x|))

Passo 2

Resolvendo a derivada que apareceu:

(d)/(d x) (|x + 1| - |x|) = (d)/(d x) (|x + 1|) - (d)/(d x) (|x|)

A derivada da função módulo é por definição:

(d)/(d x) (|x|) = (x)/(|x|)

Então ficamos com:

(d)/(d x) (|x + 1| - |x|) = (x + 1)/(|x + 1|) - (x)/(|x|)

Por fim:

f^' (x) = 2 ( |x + 1| - |x| ) ((x + 1)/(|x + 1|) - (x)/(|x|))

Resposta

f^' (x) = 2 ( |x + 1| - |x| ) ((x + 1)/(|x + 1|) - (x)/(|x|))

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