Ache f'(x) se f(x) = (|x+1| - |x|)^2

Passo 1

Para encontrarmos f ' ( x ) vamos precisar derivar a função dada:

f ' x = d d x ( x + 1 - | x | ) 2

Precisaremos aplicar a Regra da Cadeia, primeiro derivamos a função de fora:

d d t t 2 = 2 t

Então substituímos t pela função de dentro, e multiplicamos tudo pela derivada dela:

d d x ( x + 1 - | x | ) 2 = 2 ( x + 1 - x ) d d x ( x + 1 - x )

Resolvendo a derivada que apareceu:

d d x x + 1 - x = d d x x + 1 - d d x x

A derivada da função módulo é por definição:

d d x x = x x

Então ficamos com:

d d x x + 1 - x = x + 1 x + 1 - x x

Por fim:

d d x ( x + 1 - | x | ) 2 = 2 ( x + 1 - x ) x + 1 x + 1 - x x

Passo 2

Resolvendo a derivada que apareceu:

d d x x + 1 - x = d d x x + 1 - d d x x

A derivada da função módulo é por definição:

d d x x = x x

Então ficamos com:

d d x x + 1 - x = x + 1 x + 1 - x x

Por fim:

f ' x = 2 ( x + 1 - x ) x + 1 x + 1 - x x

Resposta

f ' x = 2 ( x + 1 - x ) x + 1 x + 1 - x x

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