Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.5 - Ex. 57
Existe algum valor de que torne
Continua em ? Justifique sua resposta.
Passo 1
Esta é uma questão tradicional de limites. Precisamos analisar continuidade de uma função definida por partes. Desta forma, vamos relembrar continuidade de funções. Para uma função ser contínua em um ponto , ela deve satisfazer três critérios:
- deve existir;
- deve existir;
Além do mais, podemos detalhar mais esta definição. No caso, é discutir quando o limite de uma função existe. Quando estudamos um ponto pertencente ao meio do domínio de uma função, podemos nos aproximar dele por dois caminhos. Por valores ligeiramente maiores do que ele e ligeiramente menores. Portanto, para que um limite exista, os limites laterais devem existir e serem iguais entre si. Isto é:
Quando trabalhamos com funções contínuas, não é necessário checar os limites laterais.
Vamos voltar agora ao que a questão pede. Para saber se existe algum valor que possibilite a função ser contínua, devemos calcular o limite da função com . Se esse limite existir, basta fazermos o valor de ser igual ao valor do limite. Sendo assim, vamos logo para as contas!
Passo 2
Vamos calcular o limite da função com . Temos então:
O limite é um dos limites fundamentais (basta fazer e verificar). Desta forma, podemos aplicar diretamente o seu valor igual a 1. Desta forma, temos:
Portanto, o limite existe e é igual a 9. Sendo assim, a função pode ser contínua no ponto .
Passo 3
Para a função ser contínua, basta fazer . Sendo assim, o valor de para que a função seja contínua é: