Existe algum valor de c que torne

f x = s e n 2 ( 3 x ) x 2 ,                     x ≠ 0 c ,                                                       x = 0

Continua em x = 0 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Esta é uma questão tradicional de limites. Precisamos analisar continuidade de uma função definida por partes. Desta forma, vamos relembrar continuidade de funções. Para uma função ser contínua em um ponto x = x 0 , ela deve satisfazer três critérios:

  • f ( x 0 ) deve existir;
  • lim x → x 0 ⁡ f ( x ) deve existir;
  • lim x → x 0 ⁡ f ( x ) = f x 0

Além do mais, podemos detalhar mais esta definição. No caso, é discutir quando o limite de uma função existe. Quando estudamos um ponto x 0 pertencente ao meio do domínio de uma função, podemos nos aproximar dele por dois caminhos. Por valores ligeiramente maiores do que ele e ligeiramente menores. Portanto, para que um limite exista, os limites laterais devem existir e serem iguais entre si. Isto é:

lim x → x 0 - ⁡ f ( x ) = lim x → x 0 + ⁡ f ( x ) = lim x → x 0 ⁡ f ( x )

Quando trabalhamos com funções contínuas, não é necessário checar os limites laterais.

Vamos voltar agora ao que a questão pede. Para saber se existe algum valor c que possibilite a função ser contínua, devemos calcular o limite da função com x → 0 . Se esse limite existir, basta fazermos o valor de c ser igual ao valor do limite. Sendo assim, vamos logo para as contas!

Passo 2

Vamos calcular o limite da função com x → 0 . Temos então:

lim x → 0 ⁡ s e n 2 ( 3 x ) x 2 = lim x → 0 ⁡ 9 9 ⋅ s e n 2 ( 3 x ) x 2

lim x → 0 ⁡ 9 9 ⋅ s e n 2 ( 3 x ) x 2 = 9 lim x → 0 ⁡ s e n 3 x 3 x ⋅ s e n 3 x 3 x

9 lim x → 0 ⁡ s e n 3 x 3 x ⋅ s e n 3 x 3 x = 9 ⋅ lim x → 0 ⁡ s e n 3 x 3 x ⋅ lim x → 0 ⁡ s e n 3 x 3 x ⋅

O limite lim x → 0 ⁡ s e n 3 x 3 x é um dos limites fundamentais (basta fazer u = 3 x e verificar). Desta forma, podemos aplicar diretamente o seu valor igual a 1. Desta forma, temos:

lim x → 0 ⁡ s e n 2 ( 3 x ) x 2 = 9 ⋅ 1 ⋅ 1 = 9

Portanto, o limite existe e é igual a 9. Sendo assim, a função pode ser contínua no ponto x = 0 .

Passo 3

Para a função ser contínua, basta fazer f 0 = lim x → 0 ⁡ f ( x ) . Sendo assim, o valor de c para que a função seja contínua é:

c = 9

Resposta

c = 9

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