Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.2 - Ex. 37
Dada , Prove que tem uma inversa e calcule .
Passo 1
O bizu desta questão é buscar a derivada de ) sem tentar calcular . Vamos aplicar essa ideia devagar para não nos perdemos!
Onde é uma primitiva! Note ainda que vai ser uma constante embora nos não saibamos seu valor. Assim teremos:
Derivando dos dois lados:
Como já falamos é constante logo sua derivada é igual a zero. Assim teremos:
Note para qualquer valor de no intervalo será positivo (!! Logo podemos dizer que é crescente no mesmo intervalo.
Por outro lado, sabemos que há um teorema que diz que se uma função é crescente (ou decrescente) em um intervalo, ela será bijetora. Deste modo, chegamos a conclusão que existe!
Passo 2
Agora, para prosseguir devemos nos lembrar de que:
, onde .
Então para calcular devemos descobrir tal que
Lembrando que , podemos notar que
Logo descobrimos que
Passo 3
Calculando , teremos:
Sabendo que , chegamos em: