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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 8.2 - Ex. 1d

Determine a derivada.

d) y = a r c t g ( x^2 )

Passo 1

Beleza, pessoal? Nessa questão aqui nós vamos usar a regra da cadeia, já que temos uma composição de funções, tá vendo? Tem a função a r c t g composta com a função polinomial x^2 . Pra resolver isso, nós precisamos saber como que faz a derivada de a r c t g ( x ) . Nós já vimos isso lá na letra a dessa mesma questão, mas vamos repetir a demonstração aqui!

Pela notação de Leibniz , temos que:

(d y)/(d x) = (1)/((d x)/(d y))

Vamos pegar uma função y tal que:

y = a r c t g x

Ou seja,

x = t g y

Logo,

(a r c t g x)^' = (1)/((t g y)^') = (1)/(sec^2 y)

E partindo da relação fundamental, podemos escrever:

s e n^2 y + cos^2 y = 1

Dividindo por cos^2 y :

t g^2 y + 1 = sec^2 y

E então, substituindo:

(a r c t g x)^' = (1)/(1 + t g^2 y)

E nós vimos que t g y = x , portanto:

(a r c t g x)^' = (1)/(1 + t g^2 y) = (1)/(1 + x^2)

Passo 2

Show de bola! Agora que sabemos a expressão da derivada de a r c t g , é só usarmos a regra da cadeia!

(d y)/(d x) = [a r c t g (x^2)]^'

(d y)/(d x) = [(1)/(1 + (x^2)^2)] (x^2)^'

Desenvolvendo:

(d y)/(d x) = [(1)/(1 + x^4)] (2 x)

(d y)/(d x) = (2 x)/(1 + x^4)

Resposta

(d y)/(d x) = (2 x)/(1 + x^4)

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