Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.6 - Ex. 45
Dada , prove que
se , não tem extremos relativos
se , tem ambos os valores, máximo e mínimo, relativos.
Passo 1
A primeira coisa que teriamos que fazer é achar os pontos críticos, ou seja, que sua derivada é ou não existe.
Essa derivada vai sempre existir, então vamos igualar a agora
Aqui tem um ponto importante. Aquele vai atrapalhar a vida. A raiz quadrada só tem um número real se a expressão dentro dela for positiva. Então para que se tenha ponto crítico, precisamos de:
Então temos a letra demonstrada. Porque se aquela expressão da raiz é negativa, o que faz com que não tenha solução real. Se não tem ponto crítico, não tem extremo relativo.
Com os pontos críticos são
Passo 2
Para analisarmos os pontos temos que aplicar o teste da segunda derivada, que vai ser exatamente o que está aqui embaixo, mas só vale para os pontos críticos
Se ou não existir, não funciona o teste.
Lembrando que já estamos considerando
Se não nem tem ponto crítico.
Temos
Fazendo o valor dela em :
Esse valor é maior que porque a raiz é sempre positiva. Então é ponto de mínimo relativo.
Passo 3
Fazendo o valor dela em :
Esse valor é menor que porque a raiz é sempre positiva. Então é ponto de máximo relativo.
Assim, quando temos valores de máximo e mínimo relativos
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)