Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.5 - Ex. 29
Uma lata cilíndrica fechada deve ter um volume de unidades cúbicas. Mostre que uma lata com área superficial mínima é obtida quando a altura for igual ao diâmetro da base.
Passo 1
Então pessoal, de início o que devemos fazer é definir quais são as variáveis do nosso problema, tudo bem? Temos que é a altura da lata cilíndrica, é seu raio e seu volume. A área de superfície de um cilindro circular reto (que é a geometria da nossa lata) é dada por:
E o volume é dado pelo produto entre a área da base a altura. Como a área da base é uma circunferência, então:
Isolando , teremos:
Substituindo em :
a
Fizemos isso para eliminar do nosso problema, já que é uma outra variável, além de !
Passo 2
Como queremos uma área de superfície mínima, então vamos utilizar as noções de cálculo que aprendemos! Derivando nossa função , teremos:
Igualando a zero:
Show, encontramos nosso ponto crítico! Mas como fazemos para saber se é um ponto de mínimo mesmo? Basta utilizarmos o teste da derivada segunda, saca só:
Como e sempre são positivos, então nossa derivada segunda sempre vai ser, o que indica uma concavidade para cima no gráfico e, portanto, um ponto de mínimo no que encontramos! Show!
Passo 3
Sendo assim, como encontramos a dimensão de para que seja minimizada, então temos que será:
Aqui isolamos no mínimo. Igualando com do passo 1, teremos:
Que é exatamente o diâmetro da base do cilindro, como queríamos provar! Então está aí nossa demonstração, pessoal! 😊
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)