Prove que:

Seja um ponto crítico de uma função , no qual e suponhamos que exista para todos os valores de em algum intervalo aberto contendo . Se existe e

Se , então tem valor mínimo relativo em

Tem um teorema que diz que: Se o limite é positivo, então podemos existe um intervalo, que tem , onde a expressão dentro do limite também é positiva.

Vamos pegar esse intervalo e chamar de . Então, em temos

Para mostrarmos que é um valor de mínimo relativo, temos que mostrar que a derivada antes de é negativa e que depois de é positiva. Que é:

Vamos pegar a parte daquele intervalo de valores menores que . De forma matemática é falar isso aqui

Então vamos ter que

Se multiplicamos a expressão do passo anterior por , temos que mudar o sinal da desigualdade, assim vamos ter

Podemos simplificar , ficando com

Então

Mas ele disse que é ponto crítico com , então:

Então:

Ufa, temos metade do caminho.

Agora pegar a parte daquele intervalo de valores maiores que . De forma matemática é falar isso aqui

Então vamos ter que

Se multiplicamos a expressão do passo anterior por , vamos ter:

Podemos simplificar , ficando com

Então

Mas ele disse que é ponto crítico com , então:

Então:

Isso nos diz, pelo teste da primeira derivada, que é um valor mínimo relativo.