Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.6 - Ex. 43
Dada uma série qualquer definimos uma série cujos termos são todos termos positivos de e uma série cujos termos são todos termos negativos de . Para ser específico, seja
Observe que, se , então e , ao passo que, se , então e .
(a) Se for absolutamente convergente, mostre que ambas as séries e são convergentes.
(b) Se for condicionalmente convergente, mostre que ambas as séries e são divergentes.
Passo 1
(a) Galera, pela definição apresentada no enunciado, e só podem ter o valor ou . Então podemos escrever:
Como temos absolutamente convergente, então converge, e pelo Teste da Comparação, ambas as séries e são convergentes. Ou seja, ambas as séries e são absolutamente convergentes, e portanto, convergentes.
Passo 2
(b) Agora vamos supor que a afirmação que queremos provar é falsa, e assim demonstrá-la ao achar uma contradição. Então, considerando que é condicionalmente convergente, ou seja, que converge, mas que diverge, vamos supor por contradição que converge. Então teríamos que a série
também convergiria, pois ela é a soma de duas séries convergentes. Mas, olha o seguinte:
Mas já vimos que é divergente, logo, temos uma contradição, pois a série não pode ser convergente e divergente ao mesmo tempo!
Então diverge.
Passo 3
Galera, podemos proceder analogamente para provar que diverge. Considerando que é condicionalmente convergente, ou seja, que converge, mas que diverge, vamos supor por contradição que converge. Então teríamos que a série
também convergiria, pois ela é a soma de duas séries convergentes. Mas, olha o seguinte:
Mas já vimos que é divergente, logo, temos uma contradição. Então diverge.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)