Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.6 - Ex. 28
Determine se a série
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Fala aí, pessoal!
A questão nos pede para determinar se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Uma série é chamada absolutamente convergente se a soma de seus termos em módulo for convergente, isto é, se nós pegarmos a soma dos valores absolutos dos infinitos termos da série dada e essa soma for um número real, a série é chamada de absolutamente convergente.
Por outro lado, ela é chamada de condicionalmente convergente se ela convergir, ou seja, se a soma tender a um número real, mas, ao mesmo tempo, não for absolutamente convergente.
Por último, a série é divergente se a soma de seus termos tender ao infinito positivo ou negativo.
Existe um teorema que diz o seguinte: se uma série for absolutamente convergente, então ela é convergente.
E, para determinarmos se uma série é absolutamente convergente, nós usaremos o Teste da Razão, que diz o seguinte:
- Se , então a série é absolutamente convergente e, portante, converge.
- Se ou se , então a série dada é divergente.
- Se , nós não conseguimos afirmar por este teste se a série é convergente ou não.
Nós usaremos este teste para concluir se a série dada é absolutamente convergente ou não.
Passo 2
Então, pessoal, vamos determinar a expressão para a divisão absoluta para nós podermos usar o Teste da Razão.
Observe que os fatores do numerador dos termos da série da questão seguem a progressão aritmética (P.A.) 2, 6, 10, 14, 18..., de razão 4, enquanto os fatores do denominador seguem a P.A. 5, 8, 11, 14, 17..., de razão 3.
Que tal lembrar como se calcula o termo geral de uma P.A.? É simples! Basta utilizar a seguinte fórmula:
Em que é o n-ésimo termo da sequência, é o primeiro termo e é a razão da P.A.
Sendo assim, o n-ésimo termo do numerador pode escrito como:
Enquanto o n-ésimo termo do denominador é dado por:
Portanto, segue que o n-ésimo termo, , da série do problema pode ser expressa em termos de como:
Agora, precisamos encontrar o termo da série. Para isso, basta mutiplicarmos o termo da primeira P.A ao numerador e o termo ao denominador de . Portanto, segue que:
Galera, veja que os termos da série dada são todos positivos, então não precisamos nos preocupar com o sinal quando formos calcular a razão .
Sendo assim,
Ou seja,
E vemos que todos os n primeiros termos tanto do numerador quanto do denominador podem ser cortados por serem igual e obtemos que:
Passo 3
Determinada a razão , precisamos determinar seu limite quando n tende ao infinito. Colocando a variável em evidência tanto no numerador quanto no denominador da última expressão encontrada, nós obtemos que:
Quando a variável se torna cada vez maior, tanto a fração quanto a fração se tornam cada vez mais próximas de zero. Consequentemente,
E segue do Teste da Razão que a série dada é divergente.
Resposta
A série dada é divergente pelo Teste da Razão.