Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.7 - Ex. 13
Teste a convergência ou divergência da série:
Passo 1
E aí pessoal, tudo bem?
Estamos prestes a desvendar o mistério da convergência dessa série matemática!
Vamos começar com o Teste da Raiz, que é tipo uma investigação matemática para descobrir se essa série é boa ou má, ou seja, se a série converge ou diverge.
O Teste da Raiz é um dos detetives mais habilidosos que temos para investigar séries infinitas. Ele nos ajuda a entender como os termos da série crescem ou diminuem à medida que avançamos para infinito.
A ideia é pegar a raiz -ésima de cada termo da série e ver o que acontece quando o número de termos vai para o infinito:
- Se o resultado for menor que , a série converge;
- Se for maior que , a série diverge;
- E se for igual a , o teste não nos dá uma resposta definitiva.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o termo :
Temos também que:
Como a nossa série é sempre positiva, vamos considerar logo o seguinte limite:
Ao organizarmos essa divisão, ficamos com:
Passo 3
Temos que e , então:
Arrumando a equação, teremos:
Agora, substituindo por em cada termo da expressão:
Passo 4
Como o nosso limite , chegamos à conclusão de que a nossa série é convergente!