Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.5 - Ex. 22
Se você tentar usar a Fórmula 2 para encontrar a área da metade superior da esfera , você terá um pequeno problema, pois a integral dupla é imprópria. De fato, o integrando tem uma descontinuidade infinita em cada ponto do limite circular . No entanto, a integral pode ser calculada como o limite da integral sobre o disco quando . Utilize este método para mostrar que a área de uma esfera de raio é .
Passo 1
E aí, galerinha! Tudo joia?
A fórmula 2 que o enunciado se refere pode ser reescrita como:
Essa integral se refere á área de superfície.
A questão diz que se tentarmos encontrar a metade de cima da esfera:
Usando a fórmula 2, vamos cair numa integral imprópria, ou seja, integrais com pelo menos um limite de integração igual a infinito (). Então a questão pede para usarmos outra equação:
Usando a equação do disco:
E vamos usar esse cálculo para achar que a área de uma esfera de raio é:
Para montar nossa integral:
Vamos ter que calcular as derivadas implícitas, que podemos achar com as seguintes relações de derivadas parciais:
E:
Vamos lá!
Passo 2
Como estamos tentando encontrar:
Precisamos das derivadas parciais de em relação a e a .
Para isto, precisaremos derivar implicitamente a função , usando a relação das derivadas parciais.
São as derivadas parciais de e de , onde derivamos nossa função em relação a cada uma dessas variáveis, tratando as outras como constantes. Sendo assim:
Simplificando, teremos:
Fazendo a mesa coisa para a derivada implícita de :
Simplificando, teremos:
Passo 3
Portanto, devemos resolver a seguinte integral:
Substituindo por:
Isolando:
Realizando a soma de frações dentro da raiz:
Aplicando o mínimo múltiplo comum e simplificando:
Substituindo de volta na nossa integral:
Aplicando a raiz quadrada no numerador e no denominador:
As derivadas parciais são descontínuas quando como nosso enunciado da questão já nos disse.
Por causa desta descontinuidade, a área da superfície não pode ser calculada pela integral acima. Contudo, ao fazermos esta manipulação detalhada na questão, estamos “burlando” a descontinuidade, e tudo funcionará perfeitamente!
Passo 4
Para burlar podemos calcular a integral sobre o disco:
Repare que quando temos círculos (discos), é mais fácil a gente expressar nossos limites de integração em coordenadas polares. Agora, vamos escrever em coordenadas polares a nossa integral. Os limites serão:
- Como o disco tem centro na origem e raio , podemos escrever que:
- Como o disco estamos considerando o disco inteiro, temos todo o ângulo da circunferência:
Observe que . Depois de resolvermos a integral, vamos calcular o limite para este valor!
Agora, passando a integral da área de superfície para coordenadas polares:
Teremos nas coordenadas polares:
E:
Substituímos, teremos:
Resolvendo a integral de dentro em relação a :
Aplicando os limites de integração:
Agora resolvemos a integral acima e aplicamos seus limites e :
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite para quando , como pede o enunciado:
Pereba que quando , ficamos com:
Então:
Calma lá! Estamos quase finalizando! Percebam que a diferença do nosso resultado para a área de uma esfera é apenas uma multiplicação por 2. Isto decorre, pois, a integral que resolvemos, calcula apenas a área da parte de cima da nossa esfera! Portanto, basta multiplicarmos por 2. Logo,