Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.7 - Ex. 2
Teste a convergência ou divergência da série:
Passo 1
Fala aí, galera!
Esta questão pede para gente verificar se a série dada é convergente ou divergente. Para isso, a gente precisa descobrir qual dos testes aprendidos é melhor para resolver o problema.
Veja que o termo geral da série em função da variável , o , já foi dado para gente. A saber,
A gente observa que esse termo pode ser reescrito da seguinte forma:
em que,
Um teste adequado para conferir se a série é convergente ou não é Teste da Raiz.
O Teste da Raiz diz que:
- Se , então a série é absolutamente convergente, portanto converge.
- Se ou , então a série é divergente.
- Se , o Teste da Raiz não é conclusivo.
Passo 2
Boa, pessoal! Já descobrimos qual é o melhor método para se resolver a questão. Agora, precisamos calcular . Como , temos que e , logo e não precisamos nos preocupar com o sinal do termo que está dentro da raiz. Segue, então, que:
Passo 3
Determinada a raiz, precisamos determinar seu limite quando n tende ao infinito. Veja que, por ter maior grau, o polinômio do denominador de cresce mais rapidamente que o numerador, de forma que a fração se aproxima cada vez mais de zero, quando n se torna cada vez maior. Portanto,
E segue do Teste da Raiz que a série dada é absolutamente convergente, portanto ela converge.
Resposta
A série é convergente pelo Teste da Raiz.