Teste a convergência ou divergência da série:

∑ k = 1 ∞ 2 k k ! k + 2 !

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem?

Neste exercício, vamos analisar a convergência da série ∑ k = 1 ∞ 2 k k ! k + 2 ! .

Olha que alegria! Vamos come��ar logo com aquela dica marota! Tá vendo aqueles fatoriais ali no numerador e no denominador?

fatorial ↔ Teste da Razão ( #ficaadica )

O Teste da Razão consiste em calcular o limite:

L = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Onde a n é o termo geral da série.

  • Se L < 1 , a série converge absolutamente.
  • Se L > 1 ou L = ∞ , a série diverge.
  • Se L = 1 , o teste é inconclusivo.

Para nossa série, temos:

a n = 2 k k ! k + 2 !

E

a k + 1 = 2 k + 1 k + 1 ! k + 2 + 1 !

Passo 2

Aplicando o Teste da Razão para a nossa série

lim k → ∞ ⁡ a k + 1 a k = lim k → ∞ ⁡ 2 k + 1 k + 1 ! k + 2 + 1 ! 2 k k ! k + 2 !

= lim k → ∞ ⁡ 2 k + 1 k + 1 ! k + 3 ! ∙ k + 2 ! 2 k k !

Para simplificarmos, podemos abrir os fatoriais:

Lembrando que: k + 3 ! = k + 3 . k + 2 . k + 1 . k !

lim k → ∞ ⁡ 2 k . 2 . k + 1 . k ! k + 2 . k + 1 . k !   k + 3 . k + 2 . k + 1 . k ! 2 k k !

Ao simplificarmos, ficaremos com:

= lim k → ∞ ⁡ 2 . k + 1 k + 3

Quando k tende ao infinito, o termo k + 1 e o termo k + 3 se tornam insignificantes em comparação a k . Isso ocorre porque, à medida que k aumenta indefinidamente, o efeito dos termos 1 e 3 se t6orna cada vez menos relevante em comparação com k . Então, podemos aproximar o limite como:

l i m k → ∞ 2 . k + 1 k + 3 ≈ l i m k → ∞ 2 . k k

Ou seja,

l i m k → ∞ 2 . k k = l i m k → ∞ 2 = 2

Passo 3

Opa! Nosso limite lim k → ∞ ⁡ a k + 1 a k = 2 > 1 . Ou seja, a nossa série é divergente!

Resposta

A série ∑ k = 1 ∞ 2 k k ! k + 2 ! É divergente.

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