40) Dada f(x) = x^3 .

  1. Use uma calculadora para tabular valores de f(2 + Δx) - f(2) / Δx quando ∆x é 1, 0,5, 0,1, 0,01, 0,001 e ∆x é -1, -0,5, -0,1, -0,01, -0,001 . A que f(2 + ∆x) - f(2) / ∆x parece tender quando ∆x aproxima-se de 0?
  2. Ache f' (2) aplicando a fórmula (4).
  3. Use uma calculadora para tabular valores de f(x) - f(3) / (x - 3) quando x é 3, 2,5, 2,1, 2,01, 2,001 e x é 1, 1,5, 1,9, 1,99, 1,9999 . A que f(x) - f(3) / (x - 3) parece tender quando ∆x aproxima-se de 3?
  4. Ache f' (2) aplicando a fórmula (7).

Passo 1

Concluímos então que, f 2 + ∆ x - f ( 2 ) ∆ x parece tender a 12 quando ∆ x aproxima-se de 0.

Passo 2

A fórmula (4) solicitada na questão é:

f ' ( x ) = lim ∆ x → 0 ⁡ f x 1 + ∆ x - f ( x 1 ) ∆ x

Assumindo que f ( x ) = x 3 , temos:

f x 1 + ∆ x = x 1 + ∆ x 3 e

f x 1 = x 1 3

Logo, aplicando na definição:

f ' ( x ) = lim ∆ x → 0 ⁡ x 1 + ∆ x 3 - ( x 1 3 ) ∆ x

Desenvolvendo o produto notável e simplificando, temos:

f ' x = 3 x 2

f ' 2 = 12

Passo 3

Concluímos então que, f x - f ( 2 ) x - 2 parece tender a 12 quando x aproxima-se de 2.

Passo 4

A fórmula (7) solicitada na questão é:

f ' ( x ) = lim x → x 1 ⁡ f x - f ( x 1 ) x - x 1

Assumindo que f ( x ) = x 3 , temos:

Logo, aplicando na definição:

f ' ( 2 ) = lim x → 2 ⁡ x 3 - 2 3 x - 2

Desenvolvendo o produto notável, temos:

f ' ( 2 ) = lim x → 2 ⁡ x - 2 . x 2 + 2 x + 4 x - 2

Simplificando, teremos:

f ' ( 2 ) = lim x → 2 ⁡ x 2 + 2 x + 4 = 12

Resposta

  1. f 2 + ∆ x - f ( 2 ) ∆ x parece tender a 12 quando ∆ x aproxima-se de 0.
  2. f ' 2 = 12
  3. f x - f ( 2 ) x - 2 parece tender a 12 quando x aproxima-se de 2.
  4. f ' 2 = 12
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