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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.1 - Ex. 40

40) Dada f x = x 3 .

  1. Use uma calculadora para tabular valores de f 2 + ∆ x - f ( 2 ) ∆ x quando ∆ x   é   1 ,   0,5 ,   0,1 ,   0,01 ,   0,001 ,     e   ∆ x   é - 1 ,   - 0,5 ,   - 0,1 ,   - 0,01 ,   - 0,001 . A que f 2 + ∆ x - f ( 2 ) ∆ x parece tender quando ∆ x aproxima-se de 0?
  2. Ache f ' (2) aplicando a fórmula (4).
  3. Use uma calculadora para tabular valores de f x - f ( 3 ) x - 3 quando x   é   3 ,   2,5 ,   2,1 ,   2,01 ,   2,001   e   x   é   1 ,   1,5 ,   1,9 ,   1,99 ,   1,9999 . A que f x - f ( 3 ) x - 3 parece tender quando ∆ x aproxima-se de 3?
  4. Ache f ' (2) aplicando a fórmula (7).

Passo 1

Concluímos então que, f 2 + ∆ x - f ( 2 ) ∆ x parece tender a 12 quando ∆ x aproxima-se de 0.

Passo 2

A fórmula (4) solicitada na questão é:

f ' ( x ) = lim ∆ x → 0 ⁡ f x 1 + ∆ x - f ( x 1 ) ∆ x

Assumindo que f ( x ) = x 3 , temos:

f x 1 + ∆ x = x 1 + ∆ x 3 e

f x 1 = x 1 3

Logo, aplicando na definição:

f ' ( x ) = lim ∆ x → 0 ⁡ x 1 + ∆ x 3 - ( x 1 3 ) ∆ x

Desenvolvendo o produto notável e simplificando, temos:

f ' x = 3 x 2

f ' 2 = 12

Passo 3

Concluímos então que, f x - f ( 2 ) x - 2 parece tender a 12 quando x aproxima-se de 2.

Passo 4

A fórmula (7) solicitada na questão é:

f ' ( x ) = lim x → x 1 ⁡ f x - f ( x 1 ) x - x 1

Assumindo que f ( x ) = x 3 , temos:

Logo, aplicando na definição:

f ' ( 2 ) = lim x → 2 ⁡ x 3 - 2 3 x - 2

Desenvolvendo o produto notável, temos:

f ' ( 2 ) = lim x → 2 ⁡ x - 2 . x 2 + 2 x + 4 x - 2

Simplificando, teremos:

f ' ( 2 ) = lim x → 2 ⁡ x 2 + 2 x + 4 = 12

Resposta

  1. f 2 + ∆ x - f ( 2 ) ∆ x parece tender a 12 quando ∆ x aproxima-se de 0.
  2. f ' 2 = 12
  3. f x - f ( 2 ) x - 2 parece tender a 12 quando x aproxima-se de 2.
  4. f ' 2 = 12
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