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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.1 - Ex. 42

42) Dada f x = 10 x 2

  1. Use uma calculadora para tabular valores de f 5 + ∆ x - f ( 5 ) ∆ x quando ∆ x   é   1 ,   0,5 ,   0,1 ,   0,01 ,   0,001 ,     e   ∆ x   é - 1 ,   - 0,5 ,   - 0,1 ,   - 0,01 ,   - 0,001 . A que f 5 + ∆ x - f ( 5 ) ∆ x parece tender quando ∆ x aproxima-se de 0?
  2. Ache f ' (5) aplicando a fórmula (4).
  3. Use uma calculadora para tabular valores de f x - f ( 5 ) x - 5 quando x   é   6 ,   5,5 ,   5,1 ,   5,01 ,   5,001   e   x   é   4 ,   4,5 ,   4,9 ,   4,99 ,   4,9999 . A que f x - f ( 5 ) x - 5 parece tender quando ∆ x aproxima-se de 5?
  4. Ache f ' (5) aplicando a fórmula (7).

Passo 1

Concluímos então que, f 5 + ∆ x - f ( 5 ) ∆ x parece tender a -0,16 quando ∆ x aproxima-se de 0.

Passo 2

A fórmula (4) solicitada na questão é:

f ' ( x ) = lim ∆ x → 0 ⁡ f x 1 + ∆ x - f ( x 1 ) ∆ x

Assumindo que f ( x ) = 10 x 2 , temos:

f x 1 + ∆ x = 10 x 1 + ∆ x 2   e

f x 1 = 10 x 1 2

Logo, aplicando na definição:

f ' ( x ) = lim ∆ x → 0 ⁡ 10 x 1 + ∆ x 2   - 10 x 1 2 ∆ x

Desenvolvendo o produto notável e simplificando, temos:

f ' x = - 20 x 3

f ' 5 = - 4 25

Passo 3

Concluímos então que, f x - f ( 5 ) x - 5 parece tender a -0,16 quando x aproxima-se de 5.

Passo 4

A fórmula (7) solicitada na questão é:

f ' ( x ) = lim x → x 1 ⁡ f x - f ( x 1 ) x - x 1

Assumindo que f ( x ) = 10 x 2 , temos:

Logo, aplicando na definição:

f ' ( 5 ) = lim x → 5 ⁡ 10 x 2 - 10 5 2 x - 5

Simplificando, teremos:

f ' 5 = - 4 25

Resposta

  1. f 5 + ∆ x - f ( 5 ) ∆ x parece tender a - 4 25 quando ∆ x aproxima-se de 0.
  2. f ' 5 = - 4 25
  3. f x - f ( 5 ) x - 5 parece tender a - 4 25 quando x aproxima-se de 5.
  4. f ' 5 = - 4 25
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