Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.

∫ 1 ∞ 2 - x   d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral imprópria e verificar se ele converge. Neste caso, vamos calcular primeiro a integral

I = ∫ 1 t 2 - x   d x

e em seguida tomar o limite t → ∞ .

Passo 2

Para calcularmos esse primitiva, vamos usar um truque:

y = 2 - x ⇒ ln ⁡ y = - x ln ⁡ 2 ⇒ y = e - x ln ⁡ 2

Portanto,

I = ∫ 1 t 2 - x   d x = ∫ 1 t e - x ln ⁡ 2   d x

Fazendo a integração:

I = - 1 ln ⁡ 2 e - x ln ⁡ 2 1 t = - 1 ln ⁡ 2 2 - x 1 t

Logo,

I = - 1 ln ⁡ 2 2 - t - 2 = 1 ln ⁡ 2 ( 2 - 2 - t )

Passo 3

Quando tomamos o limite t → ∞ , 2 - t → 0 , assim

lim t → ∞ ⁡ I = 2 ln ⁡ 2

Assim, vemos que a integral é convergente e vale 2 / ln ⁡ 2 .

Resposta

2 ln ⁡ 2

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