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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 1.2 - Ex. 59c

Dado que uma equação de l 1 2 x + 3 y - 5 = 0 e que uma equação de l 2 3 x + 5 y - 8 = 0 , usando o exercício 58 e sem determinar as coordenadas do ponto de intersecção de l 1 e l 2 , encontre uma equação de reta que passa por esse ponto e tenha inclinação -2.

Passo 1

Podemos escrever o feixe de retas com equação

2 x + 3 y - 5 + k 3 x + 5 y - 8 = 0 ⇒

2 x + 3 y - 5 + 3 x k + 5 y k - 8 k = 0 ⇒

2 x + 3 x k + 3 y + 5 y k - 8 k - 5 = 0 ⇒

2 x + 3 x k + 3 y + 5 y k - 8 k - 5 = 0 ⇒

2 + 3 k x + 3 + 5 k y - 8 k - 5 = 0   ⇒

3 + 5 k y = - 2 + 3 k x + 8 k + 5 ⇒

y = - 2 + 3 k 3 + 5 k x + 8 k + 5 3 + 5 k       ( 1 )

Passo 2

Se a reta tem inclinação -2, de (1) temos

- 2 + 3 k 3 + 5 k = - 2 ⇒

2 + 3 k 3 + 5 k = 2 ⇒

2 + 3 k = 2 ( 3 + 5 k ) ⇒

2 + 3 k = 6 + 10 k ⇒

3 k - 10 k = 6 - 2 ⇒

- 7 k = 4 ⇒

7 k = - 4 ⇒

k = - 4 7

Passo 3

Substituindo este valor de k em (1) temos

2 x + 3 y - 5 + - 4 7 3 x + 5 y - 8 = 0 ⇒

2 x + 3 y - 5 - 12 x 7 - 20 y 7 + 32 7 = 0 ⇒

14 x - 12 x 7 + 21 y - 20 y 7 + 32 - 35 7 = 0 ⇒

2 x 7 + y 7 - 3 7 = 0 ⇒

2 x + y - 3 = 7.0 ⇒

2 x + y - 3 = 0 ⇒

y = - 2 x + 3

Resposta

Portanto, a reta que passa pela intercessão de l 1 e l 2 e tem inclinação -2 tem equação y = - 2 x + 3 .

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5. O ponto P 2 , y , x pertence à reta determinada por A 3 , - 1,4 e B 4 , - 3 , - 1 . Calcular P .
3. Determinar m e n para que o ponto P 3 , m , n pertença à reta s : 1 - 2 t - 3 - t - 4 + t
4. Determinar os pontos da reta r : x - 3 2 = y + 1 - 1 = z - 2 que têm (a) abscissa 5; (b) ordenada 4; (c) cota 1.
Citar um ponto e um vetor diretor de cada uma das seguintes retas:e) y = - x z = 3 + x
Citar um ponto e um vetor diretor de cada uma das seguintes retas:c) x = 2 t y = - 1 z = 2 - t