Dado que o gráfico de f passa pelo ponto 2,5 e que a inclinação de sua reta tangente em x , f x é 3 - 4 x , ache f 1 .

Enunciado

Fala aí, tudo bem com você?

Bom essa questão diz pra gente que o gráfico de uma função passa pelo ponto .

Sabemos, também que a inclinação de sua reta tangente no ponto é igual a

Teremos que dizer encontrar .

Então vamos traduzir tudo isso. Lembrando que a inclinação da reta tangente ao gráfico de uma função, nada mais é que sua derivada em um ponto.

Ou seja, significa que:

E o enunciado nos diz que essa função passa no ponto . Ou seja, temos uma condição inicia, sabemos que

Juntando todas essas informações, vamos então achar a antiderivada.

Para achar vamos ter que achar a antiderivada geral, sabemos que uma função é chamada de antiderivada de em um intervalo se:

para todo em .

E se é uma antiderivada de nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de em é:

onde é uma constante qualquer.

Pronto, então vamos achar a antiderivada, pra isso temos que achar uma função que derivando nós encontramos .

Para achar vamos ter que achar a antiderivada uma vez, vamos lá!

Já sabemos que

Vamos encontrar a antiderivada da função geral com , dada por:

e de uma constante qualquer , dada por:

Agora usando isso em cada termo de

Teremos:

E resolvendo, ficamos com:

Perceba que temos uma constante que ainda não conhecemos.

Agora vamos aplicar o ponto para achar o valor de , vamos lá:

O que nos dará

E isolando , temos:

Agora, basta substituir o valor de na expressão:

Assim:

Pronto, como queremos encontrar , agora é só substituir o valor na expressão:

E prontinho.