Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.9 - Ex. 49
Dado que o gráfico de passa pelo ponto e que a inclinação de sua reta tangente em é , ache .
Passo 1
Fala aí, tudo bem com você?
Bom essa questão diz pra gente que o gráfico de uma função passa pelo ponto .
Sabemos, também que a inclinação de sua reta tangente no ponto é igual a
Teremos que dizer encontrar .
Então vamos traduzir tudo isso. Lembrando que a inclinação da reta tangente ao gráfico de uma função, nada mais é que sua derivada em um ponto.
Ou seja, significa que:
E o enunciado nos diz que essa função passa no ponto . Ou seja, temos uma condição inicia, sabemos que
Juntando todas essas informações, vamos então achar a antiderivada.
Para achar vamos ter que achar a antiderivada geral, sabemos que uma função é chamada de antiderivada de em um intervalo se:
para todo em .
E se é uma antiderivada de nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de em é:
onde é uma constante qualquer.
Pronto, então vamos achar a antiderivada, pra isso temos que achar uma função que derivando nós encontramos .
Para achar vamos ter que achar a antiderivada uma vez, vamos lá!
Passo 2
Já sabemos que
Vamos encontrar a antiderivada da função geral com , dada por:
e de uma constante qualquer , dada por:
Agora usando isso em cada termo de
Teremos:
E resolvendo, ficamos com:
Perceba que temos uma constante que ainda não conhecemos.
Passo 3
Agora vamos aplicar o ponto para achar o valor de , vamos lá:
O que nos dará
E isolando , temos:
Agora, basta substituir o valor de na expressão:
Assim:
Passo 4
Pronto, como queremos encontrar , agora é só substituir o valor na expressão:
E prontinho.