Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.9 - Ex. 36
Encontre .
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom, essa questão pede pra gente encontrar a função , sabendo que sua derivada é dada por
Além disso também sabemos que
Vamos lá, para achar vamos ter que achar a antiderivada geral, sabemos que uma função é chamada de antiderivada de em um intervalo se:
para todo em .
Ou seja, queremos saber qual é a função que quando derivamos, resulta nessa que o enunciado deu pra gente,
E se é uma antiderivada de nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de em é:
onde é uma constante qualquer.
Para o nosso caso, usaremos a informação do ponto conhecido
Aplicando diretamente na função, e isso ajudará a gente a descobrir o valor dessa constante .
Pronto, então vamos achar a antiderivada, pra isso temos que achar uma função que derivando nós encontramos .
Vamos lá!
Passo 2
Primeiro vamos manipular a função retirando o denominador, isso vai nos ajudar a aplicar as regra de antiderivação com mais facilidade. Sendo
Podemos escrever a raiz quadrada como uma potência de expoente fracionário. Assim:
Além disso, podemos colocá-la no numerador com expoente negativo:
Agora basta fazer a distributiva:
E teremos:
Show de bola.
Passo 3
Agora vamos achar a antiderivada, lembrando que a antiderivada da função geral com é da forma:
Agora é só aplicar em cada termo de . Assim, teremos:
Que arumando um pouco melhor, se torna:
Maravilha.
Passo 4
Por último, vamos aplicar o ponto para achar o valor de . Sendo:
Temos:
E resolvendo a equação, ficamos com:
Isolando
Boa!
Agora basta substituir o valor de na expressão de e teremos:
Pronto, achamos !!