Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 4.9 - Ex. 46
Encontre .
Passo 1
Vamos lá, nessa questão temos que a segunda derivada de uma função é dada por:
E queremos encontrar .
Sabemos também que
E que
Para achar vamos ter que achar a antiderivada geral, sabemos que uma função é chamada de antiderivada de :
E se é uma antiderivada de nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de :
onde é uma constante qualquer, afinal, quando derivamos a constante obtemos zero, logo somar uma constante a não muda em nada sua derivada.
Como temos a segunda derivada, vamos precisar repetir esse processo duas vezes.
Vamos usar o valor que nos foi dado que é:
E
Para encontrar o valor da constante e da constante que irão aparecer quando fizermos o processo duas vezes.
Passo 2
Primeiro vamos manipular a função:
Isso vai facilitar a encontrar a sua antiderivada que é:
Aqui vamos usar a regra para a antiderivada da potência de que é:
Dessa forma teremos para o primeiro termo:
Já para o cosseno teremos:
Logo,
Juntando tudo e somando uma constante temos:
Passo 3
Vamos agora vamos mais uma vez, dessa vez aplicando em
Vamos usar a regra da potência para o primeiro termo:
Para o seno usaremos:
Logo,
E para a constante temos:
Agora é só juntar tudo e somar uma nova constante .
Passo 4
Por último é só vamos aplicar os pontos e para achar o valor de e , vamos lá:
Agora usando
Substituindo o valor de e na expressão:
Pronto, achamos !!