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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 3.7 - Ex. 12

Dado (x_0 , y_0) in R^2 , mostrar que underset([[x -> x_0],[y -> y_0]])(lim) y = y_0 .

Passo 1

Para resolver essa questão, precisamos mostrar que de acordo com a definição de limite:

Dado um epsilon > 0 existe delta > 0 tal que |y - y_0| < epsilon sempre que 0 < sqrt(( x - x_0 )^2 + ( y - y_0 )^2) < delta .

Passo 2

Podemos dizer que:

|y - y_0| <= sqrt(( x - x_0 )^2 + ( y - y_0 )^2)

Como 0 < sqrt(( x - x_0 )^2 + ( y - y_0 )^2) < delta , podemos dizer que:

|y - y_0| <= delta

Passo 3

Assim, se tomamos delta = epsilon podemos dizer que:

|y - y_0| <= epsilon

Sempre que 0 < sqrt(( x - x_0 )^2 + ( y - y_0 )^2) < delta .

Com isso provamos que:

underset([[x -> x_0],[y -> y_0]])(lim) y = y_0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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