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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 3.7 - Ex. 13h

Mostrar que os limites não existem:

h) underset([[x -> 0],[y -> 0]])(lim) (y^4 + 3 x^2 y^2 + 2 y x^3)/((y^2 + x^2)^2)

Passo 1

Para provar que o limite não existe, podemos usar a Proposição 3.2 . 3 .

Se ( x , y ) de aproxima de ( 0 , 0 ) pelo eixo dos x , temos que y = 0 . Logo:

underset([[x -> 0],[y = 0]])(lim) (y^4 + 3 x^2 y^2 + 2 y x^3)/((y^2 + x^2)^2) = underset(x -> 0)(lim) ((0)^4 + 3 x^2 (0)^2 + 2 (0) x^3)/(((0)^2 + x^2)^2) = underset(x -> 0)(lim) (0)/(x^4) = underset(x -> 0)(lim) 0 = 0

Se ( x , y ) de aproxima de ( 0 , 0 ) pelo eixo dos y , temos que x = 0 . Logo:

underset([[x = 0],[y -> 0]])(lim) (y^4 + 3 x^2 y^2 + 2 y x^3)/((y^2 + x^2)^2) = underset(y -> 0)(lim) (y^4 + 3 (0)^2 y^2 + 2 y (0)^3)/((y^2 + (0)^2)^2) = underset(y -> 0)(lim) (y^4)/(y^4) = underset(y -> 0)(lim) 1 = 1

Como os resultados são diferentes, temo s que pela proposição 3.2 . 3 o limite não existe.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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