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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 6

Dados y = f ( u ) e u = g ( x ) , determine (d y)/(d x) = f^' (g (x)) g^' (x)

y = s e n ( u )

u = x - cos x

Passo 1

Esta é uma boa questão inicial sobre regra da cadeia, visto que já nos foi dado as funções separadas, isto é, f ( u ) e g ( x ) . Desta forma, para obtermos a derivada da função composta ( f @ g ) ( x ) , podemos derivar separadamente cada uma das funções. Só depois de obtermos as duas derivadas, podemos fazer a composição de funções f^' (g (x)) e a sua multiplicação por g ' ( x ) . Vamos começar então pela obtenção de cada uma das derivadas!

Passo 2

Vamos determinar a derivada da função f ( u ) . Sendo assim, temos:

y^' = f ' ( u ) = (s e n (u)) '

y^' = cos u

Passo 3

Vamos determinar agora a derivada da função g ( x ) . Sendo assim, temos:

u^' = g^' (x) = [x - cos x]^'

g^' (x) = 1 + s e n (x)

Passo 4

Vamos fazer a composição de f^' (u) com g ( x ) , isto é, obter f^' (g (x)) . Para isto, basta substituir g (x) = x - cos x em todo u na função f ' ( u ) . Portanto, temos:

f^' (g (x)) = f^' (x - cos x) = cos ( x - cos x )

f^' (g (x)) = cos ( x - cos x )

Passo 5

O que nos falta é multiplicar f^' (g (x)) por g ' ( x ) para obtermos a derivada d y // d x . Portanto, a resposta final do nosso problema é:

(d y)/(d x) = cos ( x - cos x ) * (1 + s e n (x))

Resposta

(d y)/(d x) = cos ( x - cos x ) * (1 + s e n (x))

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Seja g: R → R diferenciável e seja f dada por f x = xg x 2 . Verifique que f ' x = g x 2 + 2 x 2 g ' x 2
Seja y = e α x , onde α é uma raiz da equação λ 2 + a λ + b = 0 , com a e b constantes. Verifique que d 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0
Seja g uma função derivável. Verifique queb) [sec g (x)]^' = sec g (x) tan g (x) * g^' (x)
Determine alpha de modo que y = e^(alpha x) verifique a equação (d^2 y)/(d x^2) - 3 (d y)/(d x) + 2 y = 0 .
A função diferenciável y = f x é tal que, para todo x ∈ D f , o ponto x ,f x é solução da equação x y 3 + 2 x y 2 + x = 4 . Sabe-se que f 1 = 1 . Calcule f ' 1 .