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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 14

Seja y = e α x , onde α é uma raiz da equação λ 2 + a λ + b = 0 , com a e b constantes. Verifique que

d 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0

Passo 1

Primeiramente, derivamos y em relação a x utilizando a regra da cadeia, considerando α como uma constante:

d y d x = e α x '

d y d x = e α x α x '

d y d x = e α x α

d y d x = α e α x

Passo 2

Agora derivamos novamente, para determinar a derivada de 2 ª ordem:

d 2 y d x 2 = d d x d y d x

d 2 y d x 2 = α e α x '

Mais uma vez, usamos a regra da cadeia:

d 2 y d x 2 = α e α x α x '

d 2 y d x 2 = α e α x α

d 2 y d x 2 = α 2 e α x

Passo 3

Só nos resta substituir y e sua derivada de 2 ª ordem no lado esquerdo da equação do enunciado, para tentar chegar a 0 :

d 2 y d x 2 + a d y d x + b y =

= α 2 e α x + a α e α x + b e α x

= e α x α 2 + a α + b

A exponencial e α x é sempre diferente de zero, porém, teremos:

α 2 + a α + b = 0

pois, como hipótese, α é uma raiz da equação λ 2 + a λ + b = 0 .

Assim,

d 2 y d x 2 + a d y d x + b y = e α x α 2 + a α + b = e α x 0 = 0

d 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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