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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 28

A função diferenciável y = f x é tal que, para todo x ∈ D f , o ponto x ,   f x é solução da equação x y 3 + 2 x y 2 + x = 4 . Sabe-se que f 1 = 1 . Calcule f ' 1 .

Passo 1

Podemos criar a função g x = x y 3 + 2 x y 2 + x , com y = f x , e derivá-la em relação a x . Vamos usar a regra do produto para os dois primeiros termos.

g x = x y 3 + 2 x y 2 + x

g ' x = x ' y 3 + x   y 3 ' + 2 x ' y 2 + 2 x   y 2 ' + x '

g ' x = y 3 + x   y 3 ' + 2 y 2 + 2 x   y 2 ' + 1

Passo 2

Para calcular y 3 ' e y 2 ' usaremos a regra da cadeia, beleza?

g ' x = y 3 + x   y 3 ' + 2 y 2 + 2 x   y 2 ' + 1

g ' x = y 3 + x   3 y 2 y ' + 2 y 2 + 2 x   2 y y ' + 1

g ' x = y 3 + 2 y 2 + 1 + 3 x y 2 + 4 x y   y '

Lembrando que y = f x , temos:

g ' x = f x 3 + 2 f x 2 + 1 + 3 x f x 2 + 4 x f x   f ' x

Passo 3

Porém, nesse caso, a função g x que criamos é constante, pois x y 3 + 2 x y 2 + x = 4 , então g x = x y 3 + 2 x y 2 + x = 4 . Portanto, sua derivada será nula:

g ' x = 0

f x 3 + 2 f x 2 + 1 + 3 x f x 2 + 4 x f x   f ' x = 0

Desse modo, podemos substituir x = 1 e f 1 = 1 , para obter f ' 1 :

f 1 3 + 2 f 1 2 + 1 + 3 1 f 1 2 + 4 1 f 1   f ' 1 = 0

1 3 + 2 1 2 + 1 + 3 1 1 2 + 4 1 1   f ' 1 = 0

f ' 1 = - 4 7

Resposta

f ' 1 = - 4 7

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Encontre d y / d x y = x 5 s e c 1 x