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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 2

Dados y = f ( u ) e u = g ( x ) , determine (d y)/(d x) = f^' (g (x)) g^' (x)

y = 2 u^3

u = 8 x - 1

Passo 1

Esta é uma boa questão inicial sobre regra da cadeia, visto que já nos foi dado as funções separadas, isto é, f ( u ) e g ( x ) . Desta forma, para obtermos a derivada da função composta ( f @ g ) ( x ) , podemos derivar separadamente cada uma das funções. Só depois de obtermos as duas derivadas, podemos fazer a composição de funções f^' (g (x)) e a sua multiplicação por g ' ( x ) . Vamos começar então pela obtenção de cada uma das derivadas!

Passo 2

Vamos determinar a derivada da função f ( u ) . Sendo assim, temos:

y^' = f ' ( u ) = ( 2 u^3 ) '

y^' = 2 * 3 u^2

y^' = 6 u^2

Passo 3

Vamos determinar agora a derivada da função g ( x ) . Sendo assim, temos:

u^' = g^' (x) = [8 x - 1]^'

g^' (x) = 8

Passo 4

Vamos fazer a composição de f^' (u) com g ( x ) , isto é, obter f^' (g (x)) . Para isto, basta substituir g (x) = 8 x - 1 em todo u na função f ' ( u ) . Portanto, temos:

f^' (g (x)) = f^' (8 x - 1) = 6 (8 x - 1)^2

f^' (g (x)) = 6 (8 x - 1)^2

Passo 5

O que nos falta é multiplicar f^' (g (x)) por g ' ( x ) para obtermos a derivada d y // d x . Portanto, a resposta final do nosso problema é:

(d y)/(d x) = 6 (8 x - 1)^2 * 8 = 48 (8 x - 1)^2

Resposta

(d y)/(d x) = 48 (8 x - 1)^2

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Seja y = sqrt(x^2 + 1) . Verifique que((d y)/(d x))^2 + y (d^2 y)/(d x^2) = 1
Derive.j) y = e^(- x) sec x^2
Seja f uma função diferenciável e suponha que, para todo x ∈ D f , 3 x 2 + x sen ⁡ f x = 2 . Mostre que f ' x = - 6 x + sen ⁡ f x x cos ⁡ f x , para todo x ∈ D f , com x cos ⁡ f x ≠ 0 .
Derive.i) y = ln (sec 3 x + tan 3 x)
Determine a derivada.f (x) = e^(3 x)