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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 27

Seja f uma função diferenciável e suponha que, para todo x ∈ D f , 3 x 2 + x sen ⁡ f x = 2 . Mostre que f ' x = - 6 x + sen ⁡ f x x cos ⁡ f x , para todo x ∈ D f , com x cos ⁡ f x ≠ 0 .

Passo 1

Podemos criar a função constante g x = 2 , que também pode ser escrita como g x = 3 x 2 + x sen ⁡ f x , pois temos 3 x 2 + x sen ⁡ f x = 2 . Então vamos derivar:

g x = 3 x 2 + x sen ⁡ f x

g ' x = 3   .   2 x + x ' sen ⁡ f x + x   sen ⁡ f x '

onde acima usamos a regra do produto para derivar o segundo termo de g x .

g ' x = 6 x + 1 sen ⁡ f x + x   sen ⁡ f x '

g ' x = 6 x + sen ⁡ f ( x ) + x   sen ⁡ f x '

Passo 2

Para calcular sen ⁡ f x ' usaremos a regra da cadeia, beleza?

g ' x = 6 x + sen ⁡ f ( x ) + x   sen ⁡ f x '

g ' x = 6 x + sen ⁡ f ( x ) + x   cos ⁡ f x f x '

g ' x = 6 x + sen ⁡ f x + x   cos ⁡ f x f ' x

g ' x = 6 x + sen ⁡ f ( x ) + x cos ⁡ f x f ' x

Passo 3

Agora, lembre-se que a essa função g x que criamos é constante, g x = 2 . Portanto, sua derivada será nula:

g ' x = 0

6 x + sen ⁡ f x + x cos ⁡ f x f ' x = 0

Então podemos isolar f ' x nessa equação:

f ' x = - 6 x + sen ⁡ f x x cos ⁡ f x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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