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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 16i

Derive.

i) y = ln (sec 3 x + tan 3 x)

Passo 1

Primeiramente, vamos aplicar a regra da cadeia para y = ln g (x) , onde g (x) = sec 3 x + tan 3 x , lembrando que (ln x)^' = (1)/(x) :

(d y)/(d x) = [ln (sec 3 x + tan 3 x)]^'

(d y)/(d x) = [(1)/(sec 3 x + tan 3 x)] (sec 3 x + tan 3 x)^'

Usando a regra da soma:

(d y)/(d x) = ((sec 3 x)^' + (tan 3 x)^')/(sec 3 x + tan 3 x)

Passo 2

Agora, aplicamos novamente a regra da cadeia para calcular (sec 3 x)^' e (tan 3 x)^' , lembrando que (sec x)^' = sec x tan x e (tan x)^' = sec^2 x :

(d y)/(d x) = ((sec 3 x)^' + (tan 3 x)^')/(sec 3 x + tan 3 x)

(d y)/(d x) = ([sec 3 x tan 3 x] (3 x)^' + [sec^2 3 x] (3 x)^')/(sec 3 x + tan 3 x)

(d y)/(d x) = ([sec 3 x tan 3 x] (3) + [sec^2 3 x] (3))/(sec 3 x + tan 3 x)

(d y)/(d x) = (3 sec 3 x (tan 3 x + sec 3 x))/(sec 3 x + tan 3 x)

(d y)/(d x) = 3 sec 3 x

Resposta

(d y)/(d x) = 3 sec 3 x

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