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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 21

Seja y = sqrt(x^2 + 1) . Verifique que

((d y)/(d x))^2 + y (d^2 y)/(d x^2) = 1

Passo 1

Derivamos y em relação a x , usando a regra da cadeia:

(d y)/(d x) = [(x^2 + 1)^(1 // 2)]^'

(d y)/(d x) = [(1)/(2) (x^2 + 1)^(- 1 // 2)] (x^2 + 1)^'

(d y)/(d x) = [(1)/(2) (x^2 + 1)^(- 1 // 2)] (2 x + 0)

(d y)/(d x) = (x)/(sqrt(x^2 + 1))

Passo 2

Usando a regra do quociente, obtemos a derivada de 2 ª ordem:

(d^2 y)/(d x^2) = [(x)/(sqrt(x^2 + 1))]^'

(d^2 y)/(d x^2) = (x^' (sqrt(x^2 + 1)) - x (sqrt(x^2 + 1))^')/((sqrt(x^2 + 1))^2)

(d^2 y)/(d x^2) = (1 (sqrt(x^2 + 1)) - x (sqrt(x^2 + 1))^')/(x^2 + 1)

Agora note que (sqrt(x^2 + 1))^' = y^' = (d y)/(d x) :

(d^2 y)/(d x^2) = (sqrt(x^2 + 1) - x ((x)/(sqrt(x^2 + 1))))/(x^2 + 1)

Passo 3

Agora só resta substituir y e suas derivadas no lado esquerdo da equação do enunciado para chegar a 1 , verificando que a equação é verdadeira:

((d y)/(d x))^2 + y (d^2 y)/(d x^2) = ((x)/(sqrt(x^2 + 1)))^2 + (sqrt(x^2 + 1)) ((sqrt(x^2 + 1) - x ((x)/(sqrt(x^2 + 1))))/(x^2 + 1))

= (x^2)/((sqrt(x^2 + 1))^2) + ((sqrt(x^2 + 1))^2 - ((sqrt(x^2 + 1)) x^2)/(sqrt(x^2 + 1)))/(x^2 + 1)

= (x^2)/(x^2 + 1) + (x^2 + 1 - x^2)/(x^2 + 1)

= (x^2 + 1)/(x^2 + 1)

= 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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