Deduza a identidade

Use a identidade junto ao resultado de para calcular .

Use a identidade junto ao resultado de para calcular .

Assim, para a primeira parte, vamos apenas aplicar as transformações trigonométricas:

Tal que:

E, cortando os fatores comuns que se cancelam:

Agora, para a segunda parte do exercício, vamos transformar o nosso integrando em:

Para usar a identidade , vamos usar a substituição , tal que:

E vamos obter:

Assim, usando a identidade:

Nessa última integra encontrada, vamos aplicar a outra identidade que foi deduzida na primeira parte para encontrar:

Observando a forma desse último termo obtido, conseguimos perceber que ela pode ser resolvida pelo método da substituição simples com , tal que , ou seja:

E encontramos:

Dessa forma, desfazendo as substituições feitas para retornar a variável de origem, teremos:

Tal que:

E, portanto:

Por fim, vamos calcular a integral:

Para fazer isso, vamos primeiro considerar a identidade deduzida:

Substituindo a função pela identidade dada na parte do exercício, teremos:

Se observarmos bem esse último resultado, vamos perceber que o denominador representa uma semi substração de cossenos. Lembrando que sua equação é dada por:

Teremos:

Ou seja:

E a identidade deduzida será:

Dessa forma, reescrevendo a integral de interesse como:

E aplicando a substituição , tal que:

Iremos ter:

Como foi demonstrado no Passo , esse integrando agora pode ser mostrado como:

E resultará em:

Com isso, substituindo a variável de origem:

Ou ainda:

Como último passo, precisamos lembrar da teoria de ângulos complementares: um ângulo complementar é aquele em que somado a um outro ângulo já dado resulta em ou . Para as funções seno e cosseno, temos que as relações de ângulos complementares delas são dadas por:

Portanto, as funções trigonométricas que estão dentro da função logarítmica serão iguais a:

E

A partir disso, teremos:

Logo: