Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 1.5 - Ex. 43
43-a) Use o Teorema 1.5.5 para provar que se for contínua em , então
b)Prove que se , então é contínua em .[Sugestão: O que esse limite nos diz sobre a continuidade de
c)Conclua das partes (a) e (b) que é contínua em se, e só se,
Passo 1
Galera, a primeira coisa que temos que fazer aqui é lembrar o que esse Teorema nos diz,né ??
Se e se a função for contínua em , então . Ou seja,
Bom... É isso, acho que agora já podemos, de fato, começar a fazer a questão. Então, vamos lá!
Passo 2
a)Gente, esse limite nós podemos escrever assim:
Pelo Teorema nós temos que resolver o limite da função de dentro. Assim,
Dessa forma,
Isso quer dizer que:
Passo 3
b)Gente, para a função ser contínua em , por exemplo, .
Cara se considerarmos , nós teremos:
Quando , , beleza ?
Assim,
Agora, nós temos que calcular os limites:
Quando . Assim,
Bom, como o valor da função em é igual o valor do limite quando , a função é contínua em .
Passo 4
c)Como provamos na letra (a) que se for contínua em , então
e na letra (b), que se , então é contínua em , vemos que
é contínua em se, somente se, .
Galera, antes de nos despedirmos vamos só reforçar uma coisinha:
Você ainda pode estar pensando que o enunciado da letra (a) e da letra (b) são praticamente iguais, lamento te informar que não são. A hipótese do enunciado da (a) é a conclusão do item (b), bem como a hipótese do item (b) é a conclusão do enunciado da (a), não são a mesma coisa, certo ?
Agora sim, até a próxima!
Resposta
a)Demonstração acima.
b)Demonstração acima.
c) Como provamos na letra (a) que se for contínua em , então
e na letra (b), que se , então é contínua em , vemos que
é contínua em se, somente se, .