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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.6 - Ex. 86

É dada informação sobre o movimento de uma partícula ao longo de um eixo.

(a) Use um CAS para encontrar a função posição da partícula com t   ≥   0 .

(b) Faça o gráfico da curva posição versus tempo.

a t = e - t   s e n   2 t   s e n   4 t ,     v 0 = 0 ,     s 0 = 10

Passo 1

(a) Para resolver essa a gente precisa lembrar que:

a t = v ' t ∴ v t = ∫ a ( t ) d t

v t = s ' t ∴ s t = ∫ v ( t ) d t

Substituindo a expressão da aceleração, vamos usar a calculadora CAS do Geogebra para resolver a integral:

v t = ∫ e - t   s e n   2 t   s e n   4 t d t

Fica assim:

Para descobrir esse c 1 é só usar a informação dada no enunciado:

v 0 = 0

v 0 = e 0 - 1 10 + 0 + e 0 1 74 - 0 + c 1 = 0

- 1 10 + 1 74 + c 1 = 0 ∴ c 1 = 16 185

Logo, a função velocidade fica:

v t = e - t - 1 10 cos ⁡ 2 t + 1 5   s e n   2 t + e - t 1 74 cos ⁡ 6 t - 3 37   s e n 6 t + 16 185

Passo 2

Precisamos integrar essa função velocidade par achar a função posição. Vamos usar o CAS de novo:

s t = ∫ v ( t ) d t

Sendo v ( t ) a função que a gente acabou de achar. O CAS diz para gente que:

s t = e - t 35 2738 cos ⁡ 6 t + 6 1369 s e n 6 t - 3 50 cos ⁡ 2 t - 2 25   s e n 2 t + 16 185 t + c 2

Para achar c 2 a gente usa:

s 0 = 10

s 0 = 35 2738 + 0 - 3 50 - 0 + 0 + c 2 = 10

c 2 = 343866 34225

A função posição fica:

s t = e - t 35 2738 cos ⁡ 6 t + 6 1369 s e n 6 t - 3 50 cos ⁡ 2 t - 2 25   s e n 2 t + 16 185 t + 343866 34225

Passo 3

(b) Só a gente plotar o gráfico dessa função agora. Fica assim:

Resposta

  1. s t = e - t 35 2738 cos ⁡ 6 t + 6 1369 s e n 6 t - 3 50 cos ⁡ 2 t - 2 25   s e n 2 t + 16 185 t + 343866 34225
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