Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.5 - Ex. 44
Defina a função por
Segue, pelo Teorema 5.5.8(b), que não é integrável no intervalo . Aplique a Definição 5.5.1 para provar que isso realmente ocorre. [Sugestão: Argumente que, independentemente de quão pequena seja a norma de uma partição de sempre haverá alguma escolha de que torne a soma de Riemann da Definição 5.5.1 tão grande quanto queiramos.]
Passo 1
A definição que ele fala para a gente usar diz que para nossa ser integrável no intervalo , o limite:
deve existir e não depender da escolha das partições ou da escolha de pontos nos subintervalos.
Só que ele já fala para gente que essa função não atende esses requisitos. Por que ela não atende? Vamos descobrir!
Passo 2
Se a gente escolher um valor de muito próximo de zero, sabemos que quando substituirmos na função , ela vai tender ao infinito:
Podemos escolher um tão próximo de zero que o produto:
ainda tenda ao infinito, mesmo que a partição seja um valor próximo de zero também. E aí podemos escrever:
Sendo um número positivo bem grande.
Passo 3
Agora vamos voltar para o limite:
Como ele é um somatório e é só uma parcela desse somatório, sabemos que:
Já que é um número bem grande, e o produto é um número maior que ele (ele tende ao infinito), o limite do somatório vai explodir para infinito também, ou seja, ele não vai existir.
Se esse limite, dependendo da escolha dos pontos não existe, então a função não é integrável.
Resposta
Prova nos passos