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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.7 - Ex. 23

23-26 Encontre a massa e o centro de gravidade da lâmina dada de densidade δ .

23. A lâmina delimitada pelo eixo x , a reta x = 1 e a curva y = x ;   δ = 2 .

Passo 1

Vamos começar a desenhando o gráfico da região que delimita essa lâmina!

Passo 2

Agora vamos calcular a área dessa região R , vamos lá:

á r e a   d e   R = ∫ 0 1 x d x = 2 3 x 3 1 0 = 2 3 - 0 = 2 3

Para calcularmos a massa, precisamos multiplicar a área pele densidade:

M a s s a   d e   R = 2 3 × 2 = 4 3

Passo 3

Vamos calcular agora o centroide, utilizando essas fórmulas:

x - = 1 á r e a   d e   R ∫ a b x f x d x

y - = 1 á r e a   d e   R ∫ a b 1 2 f x 2 d x

Fazendo primeiro o x - , temos:

x - = 1 2 3 ∫ 0 1 x x d x = 3 2 ∫ 0 1 x 3 2 d x = 3 2 2 5 x 5 2 1 0 = 3 2 2 5 × 1 - 3 2 2 5 × 0 = 3 5

Fazendo agora o y -

y - = 1 2 3 ∫ 0 1 1 2 x d x = 3 2 × 1 2 ∫ 0 1 x d x = 3 4 x 2 2 1 0 = 3 4 1 2 2 - 3 4 0 2 = 3 4 1 2 - 0 = 3 8

Botando em coordenadas, temos:

3 5 , 3 8

Resposta

4 3 ;   3 5 , 3 8

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