Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 2.4 - Ex. 27
Demonstre cada afirmação usando a definição , de limite.
Passo 1
Falaaa... tudo bem??
Nessa questão vamos demonstrar que:
Usando a definição formal de limite, que envolve e .
Essa definição nos diz que:
Se para todo número houver um número tal que se:
Então:
Primeira coisa que fazemos é achar um valor para apenas manipulando a inequação que tem o e depois comparando a inequação que tem o .
Depois mostramos que esse funciona. Pra isso fazemos o caminho inversa, manipulando a inequação que tem o chegamos na inequação que tem o .
Passo 2
- Achando um valor para
Na nossa questão:
Então queremos achar um número tal que se
Então:
Repara que a parte direira das duas inequações são iguais, então podemos escolher, estrategicamente:
Passo 3
- Mostrando que esse valor de funciona:
Com a escolha de:
Queremos garantir que implica em .
Substituindo o do passo anterior em:
Ficamos com:
Então:
Podemos manipular isso subtraindo o zero:
E como subtrair zero não muda em nada se é positivo ou negativo, então podemos forçar um modulo por fora:
Que é exatamente onde queríamos chegar. =)
Portanto, pela definição formal de limites:
Resposta
Demonstração.