Demonstre cada afirmação usando a definição ϵ , δ de limite.

lim x → 0 ⁡ | x | = 0

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos demonstrar que:

lim x → 0 ⁡ | x | = 0

Usando a definição formal de limite, que envolve ε   e δ .

Essa definição nos diz que:

lim x → a ⁡ f x = L

Se para todo número ε > 0 houver um número δ > 0 tal que se:

0 < x - a < δ

Então:

f x - L < ε

Primeira coisa que fazemos é achar um valor para δ apenas manipulando a inequação que tem o ε e depois comparando a inequação que tem o δ .

Depois mostramos que esse δ funciona. Pra isso fazemos o caminho inversa, manipulando a inequação que tem o δ chegamos na inequação que tem o ε .

Passo 2

- Achando um valor para δ :

Na nossa questão:

a = 0

L = 0

Então queremos achar um número δ tal que se

0 < x - 0 < δ

0 < x < δ

Então:

x - 0 < ε

x < ε

Repara que a parte direira das duas inequações são iguais, então podemos escolher, estrategicamente:

δ = ε

Passo 3

- Mostrando que esse valor de δ funciona:

Com a escolha de:

δ = ε

Queremos garantir que 0 < x - 0 < δ implica em x - 0 < ε .

Substituindo o δ do passo anterior em:

0 < x - 0 < δ

Ficamos com:

0 < x - 0 < ε

Então:

x < ε

Podemos manipular isso subtraindo o zero:

x - 0 < ε

E como subtrair zero não muda em nada se é positivo ou negativo, então podemos forçar um modulo por fora:

x - 0 < ε

Que é exatamente onde queríamos chegar. =)

Portanto, pela definição formal de limites:

lim x → 0 ⁡ | x | = 0

Resposta

Demonstração.

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